Monotonicidade do valor crítico em modelos de percolação e de Ising - Amaral, Charles Souza do (2021)
Modelos de percolação e de Ising possuem aplicações em diversas áreas das ciências e estão entre os modelos mais estudados na Mecânica Estatística. Eles exibem uma transição de fase e a determinação do valor crítico no qual ela ocorre é uma das principais questões relacionadas a esses modelos. O presente trabalho tem como objetivo estudar três modelos, dois de percolação e um de Ising, em que o valor crítico varia em função de algum parâmetro. O primeiro modelo apresentado é o Modelo de Percolação com Múltiplos Alcances (MPMA). Nele consideramos o modelo clássico de percolação na rede hipercúbica Lº e adicionamos elos de tamanhos mi, ma, ..., mn, paralelos a cada eixo coordenado, de forma que os tamanhos dos elos maiores sejam múltiplos dos menores e m, > 1 para todo Há resultado analítico mostrando que o ponto crítico desse modelo converge para o do modelo clássico na rede hipercúbica Lº+1) quando m, — co para todo i. Nós encontramos evidências numéricas de que, se d = 2, essa convergência é monótona e segue uma lei de potência quando n = 1 e n = 2. Com o intuito de verificar se a convergência relacionada ao ponto crítico no MPMA também ocorre em outros modelos que exibem transição de fase, estudamos o Modelo de Ising com Múltiplos Alcances, que é definido de forma similar ao MPMA. Nós verificamos que, se analisarmos a temperatura crítica ao invés do ponto crítico, também ocorrerá a convergência para as mesmas situações estudadas no MPMA. Por fim, também estudamos o Modelo de Percolação com Grau Restrito (MPGR). Nele, tentamos abrir os elos do grafo em uma ordem aleatória que é definida previamente. Cada elo é aberto se satisfizer uma determinada restrição que depende de um parâmetro k. Esse modelo possui aplicações no estudo de dímeros e polímeros e o simulamos na rede hipercúbica 1º para d E (2,3,4). Através de uma análise numérica, nós mostramos que o valor crítico do modelo decresce em função da restrição k. Além disso, encontramos evidências de que o MPGR está na mesma classe de universalidade que o modelo clássico de percolação.