Modelo comportamental sirc fracionário - Gomes, Ana Carla Ferreira Nicola (2018)
Intrinsecamente, o sistema imunológico possui uma defesa adaptativa contra-ataques de doenças infecciosas. Essa defesa, que pode ser adquirida pelo contato direto com a doença ou pela aplicação de vacinas, ´e conhecida por memória imunológica. O entendimento da evolução das doenças, bem como da resposta imunológica dada por vacinas, é de inestimável importância para a tomada de decisões em políticas públicas. Uma maneira de entender o comportamento das doenças é modelar a dinâmica de sua evolução. Uma das possíveis formas de modelagem consiste na utilização de modelos comportamentais, os quais servem como uma simplificação do comportamento do organismo biológico, através da acoplagem da dinâmica em um sistema de equações diferenciais ordinárias. Nesta proposta estudamos especialmente o modelo compartimental SIRC, que relaciona os indivíduos divididos em compartimentos: suscetíveis (S), infectados (I), recuperados (R) e imunidade cruzada (C) com o diferencial de que utilizaremos o enlace da teoria do cálculo fracionário, com o objetivo de aplicar as propriedades dos operadores diferenciais fracionários, os quais introduzem, de forma natural, processos de memória ao sistema dinâmico. Outra contribuição importante deste trabalho é a inserção de vacina (antígeno) ao modelo SIRC. Focamos nos efeitos do antígeno na dinâmica do compartimento imunidade cruzada e na dinâmica do sistema evolutivo, trazendo uma inovação para a atual proposta, já que, desconhecemos resultados na literatura nesse sentido. Mais especificamente, nossa contribuição neste trabalho consiste em provarmos resultados de boa colocação do modelo SIRC e com a introdução da vacinação considerando a dinâmica governada por derivadas fracionárias segundo Caputo. A este modelo chamamos de modelo SIRC Fracionário. Estendemos os resultados de boa colocação para o caso em que cada linha do sistema tenha uma derivada de ordem fracionária diferente, refletindo efeitos distintos de memória. Além disso, estabeleceremos resultados de estabilidade para os modelos estudados, demonstrando em que condições sobre os parâmetros no modelo as soluções são assintoticamente estáveis. Por fim, utilizaremos de métodos numéricos adequados para discutirmos os resultados para ordens de derivada fracionária em comparação com o modelo de ordem inteira, demonstrando que a introdução das derivadas de ordem fracionária apresenta um retardo na dinâmica do sistema, o qual pode ser interpretado como memória epidemiológica. Finalmente, exibiremos o efeito que a imposição da vacinação causa na dinâmica do sistema, mostrando os resultados que essa nova abordagem pode revelar.