Métodos híbridos adaptativos para o problema de Helmholtz - Mello, Leonardo Fagundes de (2015)
Nas últimas décadas o desenvolvimento de métodos de elementos finitos para a resolução de problemas de propagação de ondas no domínio da frequência, modelado pela equação de Helmholtz, têm sido largamente explorados. Embora aparentemente simples, este problema tem se mostrado desafiador do ponto de vista da construção de métodos numéricos precisos e estáveis capazes de resolver de forma eficiente o problema de Helmholtz, com número de onda k elevado, de maneira a evitar ou minimizar os efeitos de “poluição numérica”. Métodos clássicos de Galerkin ou de diferenças finitas de segunda ordem, por exemplo, apresentam aproximações instáveis a menos que sejam utilizadas malhas extremamente refinadas. Outra alternativa bastante promissora, abordada neste trabalho, são os métodos de elementos finitos híbridos caracterizados pela introdução de multiplicadores de Lagrange responsáveis pela imposição da continuidade nas arestas dos elementos. Tal metodologia dá origem a um sistema global envolvendo apenas os graus de liberdade associados aos multiplicadores e as variáveis de interesse podem ser resolvidas no nível do elemento. Esta é uma abordagem de fácil implementação, inclusive de aptatividade do tipo h e p, além de apresentar grande flexibilidade na escolha dos espaços de aproximações. Neste contexto, apresentamos uma formulação híbrida para o problema em questão onde o multiplicador é identificado como o traço da pressão nas arestas e estabilizado pela adição de resíduos de mínimos quadrados da equação de Helmholtz e do balanço de massa. Para ilustrar a flexibilidade e robustez do método, estudos numéricos são realizados comparando resultados obtidos utilizando multiplicadores contínuos e descontínuos em meios homogêneos e heterogêneos em regimes de frequência na faixa de micro-ondas adotando, quando necessário, adaptatividade p para atingir melhor precisão da aproximação.