Análise numérica de métodos de elementos finitos para a equação da onda no domínio da frequência - Sánchez, Martha Hilda Timoteo (2020)
É um grande desafio o desenvolvimento de métodos numéricos robustos e computacional- mente eficientes para ondas harmônicas no tempo, governadas pela equação de Helmholtz com números de ondas elevados. A qualidade da solução numérica depende do número de ondas κ. Para números de ondas elevados(altas frequências), o operador diferencial associado torna-se indefinido, comprometendo assim a estabilidade das aproximações por métodos de elementos finitos de Galerkin ou de diferenças finitas. Conforme analisado por Ihlenburg e Babuska (IHLENBURG; BABUSKA, 1995), o método dos elementos finitos com aproximações lineares apresenta comportamento assintótico adequado, com taxa de convergência ótima, apenas para malhas extremamente refinadas, que obedecem à condição κ2h ≤ 1, o que inviabiliza esta aproximação para problemas reais com alto número de onda κ. As estimativas do erro assintótico, respeitando a restrição κ2h ≤ 1, foram obtidas para aproximações clássicas pelo método de Galerkin contínuo. Resultados fundamentais também foram obtidos para κh ≤ 1, conhecido como comportamento pré-assintótico. Como alternativas ao método de Galerkin contínuo, estudamos o comportamento das funções peso quase ótimas do método QOPG desenvolvido por Loula e Fernandes(LOULA; FERNANDES, 2009) que são responsáveis por melhores propriedades de estabilidade, precisão e robustez a distorções de malhas, e propomos formulações de elementos finitos híbridos estabilizados. Multiplicadores de Lagrange são introduzidos para impor fracamente a continuidade nas interfaces dos elementos dando origem a um sistema global que envolve apenas graus de liberdade associados aos multiplicadores. Conhecidos os multiplicadores, as variáveis de interesse são obtidas através dos problemas locais que são resolvidos no nível de elemento. Diferentes escolhas para os multiplicadores são avaliadas. Através de técnicas de estabilização são gerados métodos de elementos finitos híbridos com grande flexibilidade na escolha dos espaços de aproximação. Permitindo, por exemplo, o uso de aproximações de mesma ordem para todas as variáveis (velocidade, pressão e multiplicador) em malhas de triângulos e quadriláteros. Para validar as formulações são realizados vários experimentos numéricos que ilustram a flexibilidade e a robustez das formulações propostas e algumas mostram taxas ótimas de convergência em malhas uniformes e não uniformes. Assumindo que os multiplicadores de Lagrange são exatos, apresentamos a análise numérica local de dois dos métodos desenvolvidos. Mostrando que preservam propriedades como consistência, estabilidade e taxas ótimas de convergência na norma L2.