Métodos de elementos finitos híbridos estabilizados para problemas de convecção-difusão - Ordonio Hoyos, Denis Daniel (2021)
São desenvolvidos métodos de elementos finitos híbridos estabilizados para a solução de equações de convecção-difusão lineares estacionárias e transientes em regimes predominan- temente convectivos. Partimos de uma formulação híbrida primal, proposta por Oikawa (2014), onde a estabilidade da parte convectiva é alcançada através da adição de um termo upwind, tirando proveito dos mecanismos de estabilização próprios dos métodos de Galerkin Descontínuos (DG), como feito em Cockburn, Gopalakrishnan e Lazarov (2009a). A partir desta formulação fazemos um estudo numérico para aproximações de alta ordem apoiado na formulação híbrida primal proposta em Arruda, Loula e Almeida (2013) para o problema de difusão estacionário. Propomos um método misto híbrido onde é adicionado um termo de estabilização do tipo mínimos quadrados de forma similar aos métodos de elementos finitos mistos incondicionalmente estáveis para o escoamento de Darcy proposto e analisado em Correa e Loula (2008), que inclui um coeficiente depen- dendo do parâmetro da malha h. Esta formulação mista híbrida dá origem a problemas locais, envolvendo os graus de liberdade da variável escalar e do fluxo, que são resolvidos no nível dos elementos e podem ser eliminados em favor do multiplicador de Lagrange, identificado como o traço da variável escalar sobre as arestas dos elementos, assim como nos métodos híbridos primais. Dessa forma, um sistema global é montado envolvendo apenas os graus de liberdade associados com os multiplicadores de Lagrange. As variáveis de interesse podem ser obtidas através de um pós-processamento local em cada elemento. Desenvolvemos também uma formulação híbrida primal estabilizada para problemas de convecção-difusão transientes e mostramos sua equivalência com métodos de Galerkin Descontínuos obtidos numericamente com a condensação estática dos graus de liberdade dos multiplicadores, que são computacionalmente mais adequados para aproximações de primeira ordem. Para este problema transiente discretizamos a derivada temporal através do método de Crank-Nicolson, onde a estabilização se dá no instante n ` 1{2 para preservar a segunda ordem no tempo. Para ilustrar o potencial das formulações propostas, simulações numéricas são realizadas considerando problemas em regimes de convecção dominante.