Mapeamento de sistemas quânticos invariantes de forma via deformação de campos clássicos. - LEITE, Érico Vinicius Bezerra. (2014)
Em nosso trabalho, estudamos sistemas de campos escalares reais ordinários. Analisamos as configurações estáticas, o que nos levam a equações diferenciais de segunda ordem não lineares. As soluções dessas equações, chamadas de defeitos, podem possuir um caráter topológico, nos levando a dois tipos de defeito: topológicos e não topológicos. Em seguida, falamos sobre o método de Bogomol’nyi, que, para potenciais não-negativos, nos possibilita solucionar as equações de movimento por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Estudamos a estabilidade da solu¸cao atrav´es de perturba¸coes a ordem linear em torno dela, oque possibilita separar a equa¸c˜ao de movimento do campo perturba¸cao, em parte temporal e parte espacial. Dessa segunda parte chegamos ao que chamamos operador flutuação, que governa as oscilações quânticas em torno da solução clássica. Se procedimento pode ser invertido, isto é, é possível construir modelos clássicos de campos, partindo da equação de estabilidade, o que é de suma importância para o objetivo da nossa pesquisa. No nosso trabalho fizemos a reconstrução dos modelos clássicos para vários sistemas quânticos, identificando suas hamiltonianas como operadores flutuação. Um outro ponto abordado, foi o método de deformação. Através dele é possível realizar o mapeamento entre potenciais de campos escalares, via uma função deformação. Esse novo potencial, o potencial deformado, é descrito em termos do potencial inicial e de suas soluções. O método permite gerar uma infinidade de modelos novos com características distintas dos originais, mas permite, até certo ponto, controlar características como a energia e a largura dos defeitos. Em seguida, revisamos a mecânica quântica supersimétrica e os seus potenciais parceiros supersimétricos. Esses potenciais são obtidos por meio da fatorização das hamiltonianas, sendo possível criar toda uma hierarquia de hamiltonianas, que apresenta uma degenerescência do espectro de energia. Certos potenciais parceiros apresentam uma característica especial, chamada de invariância de forma. A invariância de forma é obtida fazendo uma mudança nos parâmetros do potencial, o que leva a um potencial de mesmo formato, mas com um acréscimo de energia. Essa propriedade é uma condição de integrabilidade, o que garante que sistemas quânticos baseados em potenciais invariantes de forma são solucionáveis. No presente trabalho buscamos estabelecer um novo tipo de mapeamento, entre potenciais quânticos com invariância de forma, utilizando a deformação de campos clássicos. Uma outra característica muito interessante dos potenciais invariantes de forma, e que foi ponto de partida para o presente trabalho, é que todos os potenciais invariantes de forma conhecidos, podem ser mapeados entre eles por meio de transformações canônicas, dos parâmetros e coordenadas pontuais. Para isso, fizemos o mapeamento entre os potenciais supersimétricos, reconstruímos um modelo de campo para cada potencial e fizemos o mapeamento dos modelos de campos, por meio do método de deformação. Desta maneira, conseguimos uma relação fechada envolvendo uma parte clássica e uma quântica.