Propriedade gradiente para equação de campos neurais com força externa variável. - NASCIMENTO, Cícero Alexandre do. (2021)
Neste trabalho estudamos o problema de evolução não local ∂u(t, x) ∂t = −a(x)u(t, x) + K(f ◦ u)(t, x) + h(x, u(t, x)), t > 0, x ∈ Ω, u(t, x) = 0, x ∈ R\ Ω, u(0, x) = u0(x), em um espaço de fase isométrico ao Lp(Ω), onde Ω é um aberto suave e limitado do Rn. Aqui u = u(t, x) é uma função a valores reais, f : R −→ R é uma função de classe C1(R), a ∈ W1,∞(Ω), h : R n × R −→ R é uma função continuamente diferenciável com derivada limitada e K é um operador integral com núcleo simétrico e não negativo. Provamos que o problema está bem posto, mostramos a existência de um atrator global e exibimos um funcional de Lyapunov para o fluxo gerado por esta equação. Além disso, usando este funcional de Lyapunov, conseguimos mostrar que o fluxo gerado tem a propriedade gradiente e, consequentemente, o atrator global pode ser obtido como o conjunto instável dos equilíbrios. Também provamos a existência de uma solução de equilíbrio não trivial e estudamos a semicontinuidade superior dos atratores globais com relação aos paramêtros a e h.