O princípio da mínima ação estocástico: um estudo no contexto dos movimentos randômicos e sua aplicação em eventos tipo cisne negro - Figueiredo, Lucas Pereira Gomes de (2021)
O princípio da mínima ação é um dos mais importantes princípios da física e possui aplicações em diversas áreas. Tal princípio afirma que a trajetória pela qual um sistema evolui é aquela que possui a ação mínima. Por sua vez, no cenário de movimentos randômicos, devido ao fato de serem não determinísticos, ele não é diretamente aplicável. Portanto, para abordar este tipo de situação, desenvolvemos o princípio da mínima ação estocástico (PMAE), princípio este que deve reproduzir resultados análogos aos obtidos pelas integrais de trajetória. Para tanto, consideramos que a média da variação da ação clássica das possíveis trajetórias deve ser minimizada, obtendo assim os vínculos que a distribuição de probabilidade de trajetória de um movimento randômico deve obedecer. Utilizando o princípio de Jaynes, encontramos a distribuição de probabilidade de trajetória, que é proporcional ao inverso da exponencial da ação. Tomando este movimento como um sistema markoviano, associamos a probabilidade de cada ponto de uma trajetória com o ponto imediatamente anterior e obtemos a integral de trajetória. Ao considerarmos um ruído gaussiano, obtemos uma forma específica para a integral de trajetória e observamos que tal integral também é proporcional ao inverso da ação clássica. Para verificar a relação entre a ação e a probabilidade de trajetória, construímos uma simulação computacional para o movimento randômico com ruído gaussiano: i) em regime livre; ii) sob a influência de uma força constante e iii) sob a influência de uma força restaurativa, cujo resultados corroboram os resultados preditos teoricamente pelo PMAE. Uma vez verificado o resultado para este tipo de ruído, aplicamos o formalismo à descrição de eventos tipo cisne negro. Tais eventos são raros e extremos, logo, para um sistema com sua ocorrência é necessário que os eventos nas extremidades das distribuições sejam probabilisticamente relevantes. Assim, devemos tomar distribuições com caudas pesadas e elegemos as distribuições estáveis que possuem esta característica e descrevem um processo de difusão anômala. Este tipo de processo é descrito por meio da equação de Fokker-Planck com operador diferencial espacial fracionário, um operador não local que resulta em interações de longo alcance. Devido à estas interações é necessária a modificação da entropia associada ao processo de difusão anômala, visto que a entropia de Shannon só é válida para sistemas com interações de curto alcance. Analogamente, utilizamos a entropia generalizada de Tsallis para obter a probabilidade de trajetória do movimento randômico com eventos tipo cisne negro e verificamos, por meio de simulações computacionais, a validade deste resultado.