Numerical methods for regularization models of geophysical flows - Monteiro, Igor Oliveira (2015)
Escoamentos geofísicos são aqueles escoamentos que são afetados pela rotação da Terra. Simulações computacionais envolvendo este tipo de escoamento tem diversas aplicações como, por exemplo, em estudos sobre mudanças climáticas e em previsões de tempo e do escoamento oceânico, imprescindíveis para o bemestar da sociedade moderna. Em especial no caso do Brasil, a importância destas simulações é ainda maior devido à sua ampla aplicação na indústria do petróleo. Porém, devido ao imenso número de Reynolds conferido a estes escoamentos, os recursos computacionais disponíveis atualmente (e decerto no futuro próximo) não são suficientes para simulá-los integralmente. Modelos regularizados são modelos simplificados concebidos para lidar com este problema, pois permitem a redução dos graus de liberdade em virtude de alterações nas equações originais que encurtam a cascata de energia e propiciam o uso de malhas menos refinadas. Nesta tese, foram estudados dois modelos com extenso uso em escoamentos geofísicos: o Modelo da Vorticidade Barotrópica (modelo BV) e o Modelo de Boussinesq. Para o modelo BV três tipos de regularizações foram consideradas: a regularização alfa com deconvolução modificada de Tikhonov-Lavrentiev, a regularização Bardina e a regularização alfa com deconvolução aproximada de van Cittert. Algoritmos com discretização temporal de Crank-Nicolson e espacial em elementos finitos foram propostos para estas regularizações e demonstrados incondicionalmente estáveis e otimamente convergentes. Também, simulações computacionais foram feitas, tanto para validar a teoria desenvolvida, como para avaliar o desempenho destes modelos em malhas com pouco refinamento, em situações mais próximas aquelas que ocorrem em aplicações reais. No caso do modelo de Boussinesq foram estudadas quatro tipo de regularizações: alfa, ômega, Leray e Leray modificada, todas com deconvolução aproximada de van Cittert. Para estas regularizações, algoritmos do tipo Crank- Nicolson/elementos finitos, junto com algumas técnicas bem sucedidas quando aplicadas as equações de Navier-Stokes, foram propostos e analisados numericamente. É mostrado que os algoritmos conservam energia e são incondicionalmente estáveis e otimamente convergentes. Em complemento, simulações computacionais são apresentadas, tanto para validar a teoria de convergência, como também para avaliar o desempenho de cada regularização em situações mais realistas. Nestas simulações, é mostrado que a regularização de Leray, além de ter grandes vantagens do ponto de vista computacional, pois permite controlar a ordem do erro de consistência do modelo sem alterar significativamente o tempo computacional, produziu, em malhas com pouco refinamento, as melhores soluções em comparação as soluções esperadas para os experimentos.