Integralidade de grafos - Toledo, Maikon Machado (2016)
A Teoria Espectral de Grafos tem como objetivo descobrir propriedades de um grafo G através da análise do espectro de uma matriz associada ao grafo. Nesta dissertação estudamos a matriz de adjacência A(G), a matriz laplaciana L(G) e a matriz laplaciana sem sinal Q(G). Para cada uma dessas matrizes estudamos o comportamento dos autovalores no que diz respeito `a integralidade. Mais especificamente, estudamos os grafos integrais, os grafos Q-integrais e os grafos L-integrais, que são os grafos que têm espectro inteiro em relação `as matrizes A(G), Q(G) e L(G), respectivamente. Estudamos a variação espectral inteira via adição de aresta para a matriz laplaciana. Vimos que se os autovalores da matriz laplaciana variam de maneira inteira, então um dos autovalores aumenta em duas unidades ou dois dos autovalores aumentam em uma unidade cada um. Esses dois tipos de variações são conhecidas como variação espectral inteira em um lugar e dois lugares [26, 33], respectivamente. Essas duas variações foram cruciais para estabelecermos uma estratégia para construção de grafos L-integrais por adição de arestas. Além disso, estudamos os grafos construtivelmente laplaciano integrais [28], que são um subconjunto dos grafos L-integrais. Caracterizamos este subconjunto através dos subgrafos induzidos e mostramos uma técnica alternativa para calcular o seu espectro. Estudamos também algumas famílias com infinitos grafos integrais e grafos Q-integrais construídos através do join de grafos regulares [12, 15, 24].