Integer programming with Gröbner bases and applications to multiobjective integer programming - Langeloh, Gabriel Mattos (2025)
Programação inteira e suas variantes multiobjetivo são importantes problemas NP-difíceis com aplicações em teoria dos grafos, agendamento, logística e tomada de decisão, dentre outras. Uma abordagem de resolução para essas classes de problemas de otimização que foi pouco explorada na literatura até o momento é a abordagem algébrica utilizando métodos de bases de Gröbner, que são ferramentas tradicionais na área da álgebra comutativa computacional. A primeira parte dessa tese apresenta melhorias em algoritmos para o cálculo de bases de Gröbner no contexto da programação inteira, introduzindo um novo critério de truncagem para programas inteiros com variáveis binárias. Mostra-se empiricamente que esse critério é capaz de eliminar até 90% dos S-vetores desnecessários no cálculo da base de Gröbner. Esses algoritmos são implementados em um novo pacote estado da arte open source chamado IPGBs.jl. A segunda parte desse trabalho explora a performance de métodos baseados em bases de Gröbner para programação inteira multiobjetivo. Mostramos que esses métodos possuem melhor desempenho do que se sabia previamente quando implementados com estruturas de dados ótimas e com nosso novo critério de truncagem. Além disso, provamos que seu desempenho é essencialmente independente do tamanho da fronteira de Pareto, em contraste com outros algoritmos que trabalham no espaço de critérios. Assim, a abordagem de bases de Gröbner se torna particularmente útil para problemas com fronteiras de Pareto muito grandes, inclusive no caso de problemas com 3 ou mais objetivos.