Problemas de coloração em grafos evitando famílias de padrões de grafos completos - Schmidt, Dionatan Ricardo (2023)
Nessa tese são abordados problemas dentro da Teoria Extremal de Grafos. Mais especificamente problemas de colorações de arestas, propostos inicialmente por Erdős e Rothschild. O primeiro problema considerado aqui envolve a família de padrões P*k que não contêm o padrão arco-íris KRk . Para todo k ≥ 3, apresentamos resultados em direção a obtenção de cotas inferiores e superiores para o parâmetro r0(P*k), que é o valor onde o grafo de Turán deixa de ser o grafo extremal. Ainda em relação a família P*k , apresentamos uma construção para uma cota superior ω(P*k) em relação ao parâmetro r0(P*k), onde, para todo r ≥ ω(P*k), o grafo de Turán Tk−1(n) não é mais o grafo (r,P*k)-extremal. Outra contribuição do nosso trabalho é para k = 3, e considerando o padrão K (2) 3 da família P*3 , determinamos que o parâmetro r0(K (2) 3 ) vale 26. Mais especificamente, provamos que o grafo de Turán T2(n) é o único grafo extremal, para o padrão K (2) 3 , onde 2 ≤ r ≤ 26. A principal contribuição dessa tese é a incorporação de um componente indutivo na prova desse resultado, o que nos permite explorar melhor as restrições locais e estender o resultado de [24] para todos os valores de r para os quais foi conjecturado. Por último, aplicamos a estrutura de demonstração desenvolvida na solução do problema do parágrafo acima, obtemos progresso no melhoramento da cota inferior de r0(P*4). Conseguimos encontrar uma cota inferior µ4(P*4) que melhora a cota inferior dada pelo primeiro resultado desse trabalho, mostrando assim que essa técnica tem potencial para ser empregada para melhorar resultados já existentes.