Harmonicidade de aplicações de Gauss e subvariedades com vetor curvatura média paralelo - Bustos Ríos, Daniel Francisco (2018)
Seja M uma subvariedade de uma variedade Riemanniana N. Denote por N (M ) o fibrado vetorial (sobre M ) das seções do fibrado normal de M e por E (M ) o fibrado vetorial das seções do fibrado vetorial de endomorfismos de T M munido com a métrica de Hilbert-Schimdt. Seja B : N (M ) → (M ) o homomorfismo entre fibrados B(η) = Sη, onde Sη é a segunda forma fundamental de M determinada por η (M ). Seja B* : (M ) (M ) o homomorfismo entre fibrados definido pontualmente como a adjunta de B. Al´em disso, consideremos o homomorfismo de fibrados normal de Ricci, Ric⊥M : N (M ) → N (M ) definido, em cada fibra, como o seguinte traço: Para η1, η2 ∈ Tp⊥M, (Ric⊥M (η1)(p), η2) := tr ((X, Y ) ∈ TpM × TpM ›→ (R(η1, X)η2, Y ) ∈ R) . Como resultados principais da tese apresentamos classes de variedades Riemannianas N e M (como espa¸cos sim´etricos N e subvariedades M com vetor curvatura média paralelo) `as quais associamos a cada seção normal η paralela de M uma aplicação de Gauss γη : M Sm e mostramos que η é um autovetor paralelo do homomorfismo autoadjunto entre fibrados B*B + Ric⊥M : N (M ) -> (M ) se e somente se γη é harmônica, onde Sm é a esfera Euclidiana da dimensão apropriada.