Uma classe de polinômios ortogonais de Sobolev no círculo unitário: limitantes, resultados assintóticos e zeros - Silva, Jéssica Ventura da (2022)
O principal objetivo deste trabalho é apresentar um estudo detalhado de uma classe de polinômios ortogonais de Sobolev no círculo unitário introduzida por A. Sri Ranga em “Orthogonal polynomials with respect to a family of Sobolev inner products on the unit circle, Proc. Amer. Math. Soc., 144 (2016), 1129-1143”. A classe paramétrica de produtos internos de Sobolev em nosso estudo envolve pares de medidas conhecidas como “pares coerentes de medidas de segundo tipo no círculo unitário”. De acordo com este conceito de coerência, os polinômios ortogonais de Sobolev associados estão relacionados aos polinômios ortogonais com respeito a uma das medidas no produto interno de Sobolev por uma fórmula de conexão simples. Na presente tese consideramos outras propriedades, tais como limitantes e assintóticas, relacionadas aos coeficientes na fórmula de conexão e também aos polinômios ortogonais de Sobolev associados. Assumindo certas restrições nos parâmetros que definem o produto interno de Sobolev, mostramos também que os coeficientes de conexão estão relacionados a uma subclasse dos polinômios “continuous dual Hahn”. Além disso, determinamos algumas condições para que os zeros dos polinômios ortogonais de Sobolev e/ou de suas derivadas estejam dentro do disco unitário. Finalmente, usando experimentos numéricos, encontramos mais informações sobre os parâmetros para que os zeros de tais polinômios estejam dentro do disco unitário.