Um estudo da localização das últimas curvas invariantes e de tempos característicos em mapeamentos Hamiltonianos bidimensionais - Hermes, Joelson Dayvison Veloso (2022)
O tempo de recorrência de Poincaré e o tempo de Lyapunov fornecem informações importantes sobre a complexidade do sistema e estão relacionados a medidas interessantes como a dimensão fractal e o expoente de difusão. Dessa forma, esses tempos característicos foram medidos para o mapa padrão e também para o modelo Fermi-Ulam e com isso confirmamos que o tempo de recorrência médio depende do tamanho do intervalo de recorrência escolhido e também da região onde foram tomadas as condições iniciais. Além disso, a dimensão fractal da região foi determinada através da inclinação da curva no gráfico do tempo de recorrência de Poincaré médio em função do tamanho do intervalo de recorrência, para diferentes regiões do espaço de fases. Uma vez que a dimensão fractal está relacionada ao expoente de difusão , encontramos para ambos mapeamentos = 1 para as regiões caóticas e longe das ilhas de estabilidade, condizendo com a difusão normal. O tempo de Lyapunov também foi medido para os diferentes domínios dos espaços de fases através de uma determinação direta do expoente de Lyapunov, já que ele é definido como seu inverso. Estudamos o teorema de Slater, o qual está relacionado aos tempos de recorrência. Através dele foi possível localizar a última curva invariante spanning do Mapa Padrão com alta precisão e também determinar o parâmetro crítico responsável pela destruição dessa curva. Investigamos, para o modelo Fermi-Ulam, a localização de curvas invariantes que separam áreas caóticas no espaço de fase. Aplicando o teorema de Slater verificamos que o mapeamento apresenta uma família de curvas invariantes spanning com número de rotação cuja expansão em frações contínuas possui uma cauda infinita de 1’s, atuando como barreiras locais de transporte. Determinamos a destruição de tais curvas e encontramos os parâmetros críticos para isso. A determinação do número de rotação na vizinhança de uma das curvas invariantes permitiu compreender a dinâmica nas proximidades da curva considerada, tanto antes como depois da criticidade. O perfil do número de rotação nos mostrou o caráter fractal da região próximo à curva, pois este perfil possui uma estrutura semelhante a uma “Escadaria do Diabo”.