Aplicação da álgebra geométrica na hidrodinâmica - Belançon, Emerson Dionísio (2022)
Na resolução de problemas envolvendo a dinâmica de fluidos é comum aparecer singularidades. Tais singularidades podem ser impulsionadas pelo movimento da fronteira em conjunto com a viscosidade do fluido ou singularidades de superfície livre associadas à tensão superficial e viscosidade ou ainda singularidades de pontos interiores da vorticidade associadas ao intenso alongamento do vórtice. Diante disto, alguns métodos são utilizados para tentar contornar esta situação uma vez que as singularidades dificultam uma boa aproximação para a solução das equações de movimento. Alguns métodos são, os Quatérnions, Simetria de Lie ou aproximações numéricas como elementos finitos os quais permitem ajustar a solução. No final do século XIX, William Kingdon Clifford desenvolveu uma estrutura matemática conhecida como Álgebra Geométrica de Clifford ou simplesmente Álgebra Geométrica. Esta estrutura matemática não se baseia em conceito de vetores mas em subespaços capaz de gerar objetos matemáticos de dimensões variadas, conhecidos como multivetores. A estrutura dessa álgebra generaliza e integra naturalmente conceitos, como matrizes, coordenadas de Plücker, números complexos, quatérnions, álgebra de Lie. Assim, este trabalho propõe uma maneira simples para compactar as equações usadas para descrever o escoamento de um fluido ideal e incompressível em uma única equação utilizando a estrutura da álgebra geométrica. Depois da compactação, resolver dois problemas clássicos da hidrodinâmica: o escoamento bidimensional em torno de um cilindro circular. O primeiro é manter o cilindro fixo e o segundo é acrescentar um vórtice simples no centro do cilindro. O primeiro problema será resolvido de duas formas diferentes: a primeira é aplicar um método semelhante a segunda fórmula (ou identidade) de Green, a qual é uma das ferramentas fundamentais no desenvolvimento deste trabalho. A segunda é compactar as equação clássicas da hidrodinâmica com a estrutura da álgebra geométrica e utilizar as funções de Green para resolver essa equação. O segundo problema será resolvido utilizando a compactação das equações clássicas que é o método proposto neste trabalho.