Geometria de superfícies de revolução de frontais - Martins, Eduardo da Fonseca [UNESP] (2024)
Este trabalho tem como objetivo estudar superfícies de revolução singulares, expandindo o entendimento clássico dessas superfícies no âmbito da geometria diferencial. Tradicionalmente, superfícies de revolução são estudadas tendo como curvas geratrizes, curvas regulares que não interceptam o eixo de rotação, garantindo assim que a superfície seja regular. No entanto, abordamos casos em que essas condições não sejam satisfeitas, obtendo assim superfícies singulares, e utilizamos ferramentas da teoria das singularidades para classificar os pontos singulares das superfícies a partir da análise de suas curvas geratrizes. O segundo capítulo oferece uma introdução às teorias de singularidades e de geometria diferencial clássica, introduzindo alguns resultados que relacionaremos com outros semelhantes nos estudos seguintes. No terceiro e no quarto capítulo, examinamos curvas e superfícies singulares. Introduzimos conceitos como frontais, frentes de onda, curvas de Legendre e “framed surfaces”, estabelecendo a base para o estudo das superfícies de revolução. No capítulo final estudamos superfícies de revolução de frontais. Apresentamos resultados, dentre eles os que fornecem maneiras de construir uma superfície de revolução com curvatura Gaussiana ou curvatura média dadas, e critérios para classificação de singularidades. Concluímos com informações sobre as superfícies focais e paralelas dessas superfícies de revolução, observando que ocorre algo similar com o caso de superfícies regulares.