Aplicações das simetrias de Lie na dinâmica de sistemas mecânicos - Basquerotto, Cláudio Henrique Cerqueira Costa (2018)
Os métodos envolvendo simetria têm grande importância para o estudo das equações diferenciais decorrentes de áreas como a matemática, física, engenharia entre muitas outras. A existência de simetrias em equações diferenciais pode gerar transformações em variáveis dependentes e independentes que podem facilitar a integração. Em especial, Sophus Lie desenvolveu no século XIX uma forma de extração de simetrias que podem ser usadas efetivamente para revelar as integrais primeiras, ou seja, as constantes de movimento, que muitas vezes podem estar escondidas. Estes invariantes podem em algumas situações ser identificados pelo teorema de Noether ou a partir de manipulações das próprias equações com transformações de Lie. Assim, nesta tese foi proposto utilizar as simetrias de Lie para aplicação em problemas da dinâmica de sistemas mecânicos. As simetrias de Lie são aplicadas em dois problemas clássicos, primeiro em um pêndulo oscilando em um aro rotativo e em seguida em um pião simétrico com movimento de precessão estacionária com um ponto fixo. No primeiro problema foi realizada uma redução de ordem para solução por quadraturas da equação de movimento. Já no segundo foram mostradas as relações entre os invariantes e as leis de conservação extraídas das simetrias de Lie. Uma outra análise foi realizada através da teoria de referencial móvel, mostrando a possibilidade de outras aplicações das simetrias de Lie. Uma das aplicações desta teoria, também é a redução de ordem das equações diferenciais resultantes. Com isso os referenciais móveis foram calculados para os problemas do pêndulo oscilando em um aro rotativo, pião simétrico e apresentando uma aplicação em um problema de vínculo não-holonomo. A partir disto foi possível reduzir a ordem das equações e obter a solução analítica das mesmas. Com isto, esta tese buscou mostrar a aplicação das simetrias de Lie em problemas de dinâmica de sistemas mecânicos através de uma linguagem acessível e que motive a outros engenheiros a se interessarem pelo tema.