Álgebras de Lie e aplicações à sistemas alternantes - Nascimento, Rildo Pinheiro do [UNESP] (2005)
Neste trabalho é feito um estudo aprofundado da estabilidade de sistemas alternantes, principalmente via teoria de Lie. Inicialmente são apresentados os principais conceitos básicos da álgebra de Lie, necessários para o estudo dos critérios de estabilidade dos sistemas alternantes. Depois são discutidos critérios de estabilidade para sistemas alternantes. É feita a exposição da demonstração de que para todo sistema linear da forma ? x = Apx p = 1, 2,...,N, com as matrizes Ap assintóticamente estáveis e comutativas duas a duas, existe uma função de Lyapunov quadrática comum. Uma condição suficiente para estabilidade assintótica de um sistema linear alternante é apresentada em termos da álgebra de Lie gerada por uma família infinita de matrizes. A saber, se esta álgebra de Lie é solúvel, então o sistema alternante é estável para uma mudança arbitrária de sinal. Em seguida são estudadas condições mais fracas. Supondo que a álgebra de Lie não é solúvel, mas é decomponível na soma de um ideal solúvel e uma subálgebra com grupo de Lie compacto, então o sistema alternante é globalmente exponencialmente uniformemente estável. Entretanto, se o grupo de Lie não for compacto, verifica-se que é possível gerar uma família finita de matrizes estáveis tais que o correspondente sistema linear alternante não é estável. Finalmente, os resultados correspondentes de estabilidade local para sistemas alternantes não lineares são apresentados.