Polinômios multivariados : fatoração e MDC - Allem, Luiz Emílio (2010)
Nesta tese de doutorado estudamos polinômios multivariados. Começamos fazendo uma revisão bibliográfica sobre o teorema da irredutibilidade de Hilbert. Abordamos com detalhes as demonstrações da versão clássica feita pelo próprio Hilbert e das versões efetivas feitas por Erich Kaltofen e Shuhong Gao. Desenvolvemos um novo algoritmo para fatoração de polinômios multivariados inteiros usando logaritmo discreto. Nosso método é baseado em novos tipos de reduções de polinômios multivariados para polinômios bivariados, as quais têm como principal característica manter a esparsidade do polinômio. Nosso método mostrou-se eficiente quando usado para fatorar polinômios multivariados que possuem apenas fatores esparsos e quando usado para extrair fatores esparsos de polinômios multivariados que têm fatores esparsos e densos. Terminamos essa tese trabalhando com o máximo divisor comum (mdc) de polinômios. Estudamos critérios geométricos de politopos para determinar coprimalidade entre polinômios multivariados. Desenvolvemos um novo algoritmo que trabalha em tempo polinomial (sobre o número de monômios) para detectar coprimalidade entre polinômios multivariados usando seus politopos de Newton associados. Esse método geométrico tem a vantagem de determinar a coprimalidade entre famílias de polinômios, pois podemos mudar arbitrariamente os coeficientes dos polinômios desde que certos coeficientes permaneçam não nulos. Além disso, os polinômios permanecerão coprimos sobre qualquer corpo. Terminamos mostrando como construir o mdc entre dois polinômios bivariados usando seus polígonos de Newton associados.