Large deviations for gaussian AR(1) and MA(1) models and bayesian estimation in [infinito]-stable processes - Karling, Maicon Josué (2021)
Neste trabalho abordamos quatro assuntos que aparecem como destaque: estimação Bayesiana em distribuições -estáveis univariadas e multivariadas; medidas de dependência para processos estocásticos com distribuição -estável multivariada, particularmente, processos VAR(1); análise de matrizes tridiagonais, pentadiagonais e de Toeplitz; e finalmente, grandes desvios em processos Gaussianos AR(1) e MA(1). Na primeira parte, realizamos um estudo das distribuições -estáveis nos casos univariados e multivariados. A seguir, propomos um novo algoritmo para a estimação Bayesiana dos quatro parâmetros de uma distribuição univariada, para dois sistemas de parametrização distintos, usando representações em séries de potências que aproximam as funções de densidade de probabilidade. Comprovamos a eficácia deste método por meio de simulações de Monte Carlo. Como extensão deste método, propomos um novo algoritmo para estimar a medida espectral discreta de vetores aleatórios bivariados e trivariados de distribuições -estáveis. O estudo de medidas de dependência alternativas à função de covariância também é considerado. Primeiramente, apresentamos uma versão multivariada da função de codiferença e apresentamos suas propriedades. Como segunda alternativa, investigamos a medida de covariância espectral introduzida na literatura. Finalmente, um estudo de simulação para processos BVAR (1) estacionários com inovações -estáveis é realizado para entendermos o comportamento de sua função de autocodiferença multivariada generalizada, introduzida aqui. Na segunda parte, estudamos matrizes tridiagonais, pentadiagonais e de Toeplitz. A estrutura de tais matrizes aparece em problemas relacionados à função geradora de cumulantes normalizada bivariada de processos autoregressivos e de média móvel de primeira ordem, estacionários, centrados e com inovações gaussianas. O estudo detalhado dos autovalores obtidos a partir dessas matrizes permite dar uma função limite explícita para a função geradora de cumulantes normalizada e, em alguns casos especiais, provar um Princípio de Grandes Desvios como uma aplicação do teorema de Gärtner-Ellis e do Princípio da Contração.