Um processo iterativo para aproximar sub-ações calibradas e exemplos explícitos em Otimização Ergódica - Ferreira, Hermes Hofmeister (2021)
Apresentamos um procedimento iterativo para aproximar numéricamente sub-ações calibradas. O problema principal em Otimização Ergódica consiste de calcular médias maximais ergódicas. Dado um sistema dinâmico T : X → X e uma função contínua A : X → R, chamada de potencial, nesta teoria o interesse principal está no valor m(A) := sup ρ is a T-invariant probability R A dρ e na probabilidade ρ que atinge este valor, chamada de probabilidade maximizante. Estamos interessados em propriedades de tal ρ. Sub-ações calibradas são funções V : X → R tais que max T(y)=x [A(y) + V (y)] = m(A) + V (x). O motivo de interesse nas sub-ações é porque os suportes das probabilidades maximizantes de A estão contidos no conjunto {x | V (T(x)) − V (x) − A(x) + m(A) = 0}. Uma propriedade importante é a de que se uma probabilidade invariante possui suporte no conjunto acima, ela é maximizante (ver [5]). Para um potencial Hölder A sempre existe uma sub-ação calibrada. Também é conhecido que genéricamente para um potencial Hölder A a sua probabilidade maximizante é única. Se a probabilidade maximizante é única, então a sub-ação calibada é única a menos de uma constante aditiva. Nosso procedimento consiste em iterar um operador em uma função inicial, convergindo para um ponto fixo que será uma sub-ação calibrada. Se existir mais de uma sub-ação calibrada o limite depende da condição inicial. A implementação do procedimento é direta e exige pouco poder computacional. O processo também pode ser aplicado na estimação de raio espectral conjunto de matrizes. Nos restringiremos para X = S 1 := [0, 1] e A : X → R contínua. Estamos principalmente interessados no caso T(x) = 2x(mod 1), mas outras dinâmicas T também são consideradas. Sub-ações calibradas são importantes para obter o valor m(A) e a probabilidade maximizante. O procedimento proposto aproxima numéricamente sub-ações calibradas e o valor m(A). Com essas aproximações nós podemos adivinhar um sistema de equações que a sub-ação deve satisfazer, a resolução deste sistema fornece a solução explícita para a sub-ação calibrada e o valor m(A). Nós deduzimos o sistema heurísticamente utilizando o gráfico da sub-ação calibrada aproximada.