Medidas invariantes para aplicações unimodais - Silva, Belmiro Galo da (2014)
Neste trabalho estudamos medidas invariantes para aplicações unimodais. Estamos especialmente interessados em detectar as situações que levam uma aplicação unimodal a não possuir uma medida piac, ou seja, uma medida de probabilidade invariante e absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue. Mostramos que a ordem do ponto crítico e a sua capacidade de recorrência são os fatores mais relevantes nesta questão. Os valores das derivadas da aplicação nos pontos periódicos tem uma infuência menor, mas suficiente para garantir que numa mesma classe de conjuga ção topológica podem existir duas aplicações unimodais com ponto crítico de mesma ordem, sendo que uma delas possui medida piac e a outra não possui. A capacidade de recorrência do ponto crítico, talvez o principal fator nesta questão, depende de aspectos combinatórios bem sofisticados. As ferramentas principais para analisar estes aspectos envolvem os conceitos de tempos de corte e de aplicações kneading. A existência ou não de medidas piac é uma propriedade de natureza métrica, e por isto, é necessário que tenhamos controle de como os iterados da aplicação unimodal distorcem a medida de Lebesgue. Então precisamos usar ferramentas de controle de distorção que incluem principalmente os Princípios de Koebe. Um ponto culminante deste trabalho diz respeito a relação entre existência de mediada piac e existência de atratores selvagens, isto é: atratores métricos que não são atratores topológicos e vice versa. Usamos aqui um argumento probabilístico de rara beleza.