Homologia de álgebras pseudocompactas: as fronteiras da conjectura de Han - Cruz, Guilherme da Costa (2023)
Esta dissertação possui como fio condutor a seguinte conjectura, proposta por Y. Han em 2006 e ainda não solucionada, acerca de álgebras de dimensão finita: se a dimensão da homologia de Hochschild é finita, então a dimensão global também é finita. Assim, iniciamos o texto com um capítulo introdutório sobre os dois conceitos de Álgebra Homológica --- e algumas das ferramentas da área --- que concernem a conjectura. Em seguida, apresentamos um panorama considerável dos métodos utilizados para se tratar do problema e detalhamos as diversas respostas parciais obtidas ao longo nas últimas décadas. Tais trabalhos podem ser enquadrados em dois tipos. O primeiro deles está relacionado em encontrar exemplos que satisfazem o problema --- por exemplo, sua validade já foi verificada para álgebras comutativas, monomiais e de grupos. Em uma segunda direção, mostrou-se mais recentemente que certas extensões de álgebras preservam a conjectura de Han. Em seguida, propomos tratar o problema por meio de um terceiro ponto de vista: investigar, além do mundo das álgebras de dimensão finita, limites superiores para o reino das álgebras que satisfazem a propriedade acima. Para tanto, buscamos estudar a homologia de álgebras pseudocompactas, isto é, álgebras topológicas que são limites de álgebras de dimensão finita. Em especial, mostramos que certos resultados sobre a dimensão global de álgebras de dimensão finita continuam válidos nesse mundo e verificamos que a conjectura de Han é válida para certas classes de álgebras de grupos profinitos.