Resultados de Ramsey e de densidade para grafos pseudo-aleatórios esparsos - Donadelli Junior, Jair (2002)
Neste trabalho estudamos problemas do tipo ramsey e do tipo densidade para grafos e grafos orientados esparsos. Começamos dedicando o primeiro capítulo a uma das principais ferramentas no ataque aos problemas: o Lema de Regularidade de Szemerédi. Na seqüência, provamos uma generalização de um lema de contagem devido a Kohayakawa e Kreuter (1997). Com esse resultado, aplicamos um método inventado por Furedi para provar que quase certamente Gp ->1/2+B Cl para qualquer B>0, onde Gp é o grafo orientado aleatório binomial de ordem n e densidade p = e(Gp)/n2 = An-1+1/(l-1), e A = A(B) > 0 é uma constante suficientemente grande e G ->1/2+B Cl significa que todo subgrafo J C G com e(J)> ou = (1/2+B) e (G) contém o circuito Cl. Como conseqüência disso obtemos uma família infinita de contra-exemplos para uma generalização de uma conjectura de Woodall. Depois, usamos o lema de contagem de circuitos para mostrar que para todo grafo H de uma família apropriada de grafos 2-conexos e para todo n suficientemente grande, existem grafos In tais que In -> (Cl, H) e In é minimal com respeito a essa propriedade. O símbolo In -> (Cl, H) significa que para qualquer 2-coloração de E(In) com as cores vermelha e azul, ou teremos uma cópia monocromática vermelha de Cl ou uma cópia monocromática azul de H contida em In. Finalmente, demonstramos que para qualquer grafo H, se subdividimos suas arestas s vezes, onde C1 log n < ou = s < ou = C2n, então o número de ramsey para aresta para grafo resultante é O(n). Esse resultado está relacionado com uma conjectura recente de Igor Pak