Equações Diferenciais Binárias e Geometria Diferencial - Nabarro, Ana Claudia (1997)
Uma equação diferencial binária é uma equação diferencial implícita da forma a(x, y)dy2 + 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = O, onde a, b, c são funções diferenciáveis de x e y. Em um ponto (x, y) onde seu discriminante, Δ (x, y) = b2 (x , y) - a(x ,y)c(x, y), é maior que zero, a equação define um par de direções no plano. Uma maneira natural de estudar esta equação é levantar este par de campos de linhas a um único campo definido num espaço de recobrimento associado ao conjunto Δ = {(x, y)/b2(x, y) - a(x ,y)c(x , y) > 0}. A. Davydov [Dv], seguindo o trabalho pioneiro de L. Dara [Dr], classificou pares de campos genéricos quando o conjunto Δ é uma curva diferenciável. J. W. Bruce e F. Tari estudam em [BT - 1] a classificação topológica das curvas integrais da equação quando a função Δ(x, y) apresenta uma singularidade do tipo Morse. Esta classificação é feita reduzindo a equação implícita à sua forma normal. O objetivo deste trabalho é estudar as equações diferenciais binárias, na vizinhança de um ponto singular isolado. A análise destas singularidades é feita através de informações dadas pelo polinômio de Taylor das funções a, b e c, sem reduzir a EDB à sua forma normal. Os resultados são aplicados ao estudo das linhas de curvatura de superfícies em R3 e ao estudo das linhas assintóticas de mergulhos convexos de superfícies em R4.