Teoria de oscilações para EDOs generalizadas e aplicações a outros tipos de equações - Silva, Marielle Aparecida (2021)
Este trabalho tem dois objetivos principais. O primeiro diz respeito à oscilação de soluções de equações diferenciais ordinárias generalizadas em que as funções envolvidas assumem valores em um espaço de Banach qualquer. Para este fim, introduzimos a definição de processos de evolução regrados. O segundo objetivo é tratar do comportamento periódico de soluções desta classe de equações generalizadas. Apresentamos resultados que garantem a existência e unicidade de soluções periódicas e provamos um teorema do tipo Floquet para EDOs generalizadas lineares. O ganho de se obter resultados sobre oscilações e periodicidade para EDOs e outros tipos de equações a partir das EDOs generalizadas está no fato de que, para as últimas, as funções envolvidas podem ter muitas descontinuidades e/ou podem não ser de variação limitada, já que se trata de uma equação que envolve a integral não-absoluta de Kurzweil-Henstock. Um exemplo típico de uma função que pode estar envolvida em EDO tratada via EDOs generalizadas é a função de variação ilimitada f (t) = F (t), em que F : [0;1] → R, com F(t) = t2 sen½t , para 0 < t ≤ 1, e F(0) = 0. Esta é uma função que não é Riemann nem Lebesgue integrável, mas é Kurzweil-Henstock integrável. Os resultados obtidos nesta tese deram origem a quatro artigos científicos, a saber (i) Oscillation and nonoscillation criteria for impulsive delay differential equations with Perron integrable coefficientes. (Aceito para a publicação na revista Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Veja (AP. SILVA; FEDERSON; GADOTTI, 2021)); (ii) Oscillatory solutions of measure differential equations with several delays and generalized ODEs. (Submetido para a publicação. Veja (AP. SILVA; FEDERSON, 2021)); (iii) On periodic solutions of abstract generalized ODEs and applications to measure differential equations. (Submetido para a publicação. Veja (AP. SILVA et al., 2021)); (iv) Oscillation theory for regulated linear semigroups and regulated linear processes with application to generalized ODEs. (Preprint, 2021. Veja (AP. SILVA; BONOTTO; FEDERSON, 2021)); e a um capítulo no livro Generalized Ordinary Differential Equations in Abstract Spaces, Wiley, Hoboken, NJ, 2021. Veja (BONOTTO; FEDERSON; MESQUITA, 2021).