A decomposição da soma de quadrados de tratamentos nos delineamentos em blocos incompletos parcialmente balanceados - Riboldi, Joao (1988)
No presente trabalho, consideraram-se os experimentos em blocos incompletos parcialmente balanceados (PBIB) com os parâmetros: v: número de tratamentos, b: número de blocos, r: número de repetições para cada tratamento, k: número de parcelas por bloco; e ainda λ1, λ2, ..., λm, n1, ..., n2, nm, pjki (i, j, k = 1, 2, ..., m), definidos conforme BOSE e NAIR (1939). Para tanto adotou-se o modelo matemático: yij = μ + τi + β j + eij, onde, yij é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; μ é a média geral; τi é o efeito do i-ésimo tratamento (i = 1, 2, ..., v); β j é o efeito do j-ésimo bloco (j = 1, 2, ..., b); eij é o erro experimental associado à observação yij e supõe-se eij ~ N (0, σ2) e independentes. Sob essas condições foram determinados: - o sistema de equações normais; - estimadores para os efeitos ajustados de tratamentos; - variância para contrastes entre efeitos ajustados de tratamentos; - as somas de quadrados e suas esperanças matemáticas; - as distribuições das formas quadráticas; - a eficiência desses delineamentos; - a decomposição da soma de quadrados de tratamentos ajustada [SQT(aj.)]; obtendo-se: - a expressão para a soma de quadrados ajustada para um contraste Yj e sua esperança matemática; - as distribuições das formas quadráticas; - a eficiência para a estimativa dos contrastes. Além disso procedeu-se ao ajuste de equações de regressão, pela técnica de polinômios ortogonais, para o caso de níveis equidistantes e não-equidistantes. A particularização de resultados foi feita considerando-se PBIB do tipo grupo divisível, relacionando-se os resultados obtidos com o caso de blocos incompletos balanceados (BIB). As principais conclusões obtidas foram: a) A SQT(aj.) é decomposta em v-1 partes ortogonais, correspondendo às somas de quadrados dos v-1 contrastes ortogonais Yj definidos pelos v-1 auto-vetores associados aos v-1 auto-valores θj não nulos da matriz C das equações normais reduzidas; b) A eficiência para a estimativa do contraste Yj é dada por Ej = θj ⁄ r; j = 1, 2, ...,v-1, ou seja, tanto maior a eficiência quanto maior o auto-valor de C ao qual está associado o contraste; c) A decomposição da SQT(aj.) para PBIB pode ser procedida pela mesma sistemática dos BIB, obtendo-se a soma de quadrados ajustada para o contraste Yj [SQYj(aj.)] através da eficiência Ej, ou seja, obtendo-se SQY.(aj.) = Ej.SQYj.