Passeios aleatórios estáveis em Z com taxas não-homogêneas e os processos quase-estáveis - Souza, Wagner Barreto de (2012)
Seja $\\mathcal X=\\{\\mathcal X_t:\\, t\\geq0,\\, \\mathcal X_0=0\\}$ um passeio aleatório $\\beta$-estável em $\\mathbb Z$ com média zero e com taxas de saltos não-homogêneas $\\{\\tau_i^: i\\in\\mathbb Z\\}$, com $\\beta\\in(1,2]$ e $\\{\\tau_i: i\\in\\mathbb Z\\}$ sendo uma família de variáveis aleatórias independentes com distribuição marginal comum na bacia de atração de uma lei $\\alpha$-estável, com $\\alpha\\in(0,2]$. Nesta tese, obtemos resultados sobre o comportamento do processo $\\mathcal X_t$ para tempos longos, em particular, obtemos seu limite de escala. Quando $\\alpha\\in(0,1)$, o limite de escala é um processo $\\beta$-estável mudado de tempo pela inversa de um outro processo, o qual envolve o tempo local do processo $\\beta$-estável e um independente subordinador $\\alpha$-estável; chamamos o processo resultante de processo quase-estável. Para o caso $\\alpha\\in[1,2]$, o limite de escala é um ordinário processo $\\beta$-estável. Para $\\beta=2$ e $\\alpha\\in(0,1)$, o limite de escala é uma quase-difusão com medida de velocidade aleatória estudada por Fontes, Isopi e Newman (2002). Outros resultados sobre o comportamento de $\\mathcal X$ para tempos longos são envelhecimento e localização. Nós obtemos resultados de envelhecimento integrado e não-integrado para $\\mathcal X$ quando $\\alpha\\in(0,1)$. Relacionado à esses resultados, e possivelmente de interesse independente, consideramos o processo de armadilha definido por $\\{\\tau_{\\mathcal X_t}: t\\geq0\\}$, e obtemos seu limite de escala. Concluímos a tese com resultados sobre localização de $\\mathcal X$. Mostramos que ele pode ser localizado quando $\\alpha\\in(0,1)$, e que não pode ser localizado quando $\\alpha\\in(1,2]$, assim estendendo os resultados de Fontes, Isopi e Newman (1999) para o caso de passeios simples simétricos.