A questão da heterocedasticia na comparação de duas médias - Wada, Ronaldo Seichi (1985)
O problema de Behrens-Fisher é clássico na literatura. No contexto mais simples, este problema se refere à comparação de duas médias, usando o teste t de Student, quando as variâncias são desconhecidas e não são supostas iguais, ou seja, quando ocorre heterocedasticia. Nesses casos, existem diversas propostas alternativas para o teste. Comparamos essas propostas, simulando 216 mil pares de amostras, nas seguintes condições: 1) Amostras com médias iguais e variâncias iguais (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razoes n2/n1 = 1, 2, 3; 2) Amostras com medias iguais e variâncias diferentes, nas razões σ22/σ21 = 2, 3, 4 (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razões n2/n1 = 1, 2, 3; 3) Amostras com medias diferentes e variâncias iguais (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razões n2/n1 = 1, 2, 3; 4) Amostras com médias diferentes e variâncias diferentes, nas razões σ22/σ21 = 2, 3, 4 (σ21 = 4, 8, 16), com total de elementos nas amostras N = 12, 24, 36, nas razões n2/n1 = 1, 2, 3. Os resultados obtidos permitiram concluir que: 1) Os resultados obtidos através do teste t usual, e do teste t, nas formas propostas por Welch-Satterthwaite e Aspin-Welch são praticamente iguais, quando as amostras são de mesmo tamanho. Então, nesses casos, e recomendável proceder ao teste t, na forma usual, porque os cálculos são mais simples; 2) Se a razão de tamanhos de amostras for da ordem de 2 e 3, o teste t, na forma usual, não leva a bons resultados. Nesses casos não é recomendável proceder ao teste usual, a menos que a aplicação do teste seja precedida por uma transformação de variáveis que estabilize a variância; 3) Se a razão de tamanhos de amostra for da ordem de 2 e 3, o teste t, na forma proposta por Aspin-Welch, leva a resultados ligeiramente melhores em termos de poder de teste àqueles obtidos quando se procede ao teste t, na forma proposta por Welch-Satterthwaite, o que implica em um teste de maior poder, consequentemente, menor probabilidade de cometer erro tipo II. Essa diferença, entre as duas formas de teste, diminui com o aumento do total de elementos nas duas amostras. No entanto, se houver interesse em um teste associado a menor probabilidade de cometer erro tipo I, é razoável proceder ao teste t, na forma proposta por Welch-Satterthwaite, o que não implica em perda considerável do poder; 4) O teste t, na forma proposta por Cochran, tem menor poder se a razão de tamanhos de amostra for da ordem de 2 e 3. O poder cresce com o aumento do total de elementos nas duas amostras. No entanto, este teste pode ser mais seguro se, no problema dado, existe prejuízo real em cometer erro tipo I.