Ações de grupos topológicos sobre somas torcidas de espaços de Banach - Garcia, Denis de Assis Pinto (2024)
O tema central deste trabalho é o estudo de ações à esquerda lineares (uniformemente) limitadas de grupos topológicos sobre espaços normados e, principalmente, sobre somas torcidas de espaços de Banach. Dentre as ferramentas importantes para esse estudo, podemos destacar as técnicas desenvolvidas por Castillo e Ferenczi ao estudarem espaços normados munidos de ações à esquerda lineares limitadas de um grupo G --- os quais foram chamados por eles de G-espaços. Uma apresentação elementar da teoria dos G-espaços e das G-somas torcidas de espaços de Banach, com destaque para a descrição das ações à esquerda lineares limitadas de G sobre G-somas torcidas de espaços de Banach induzidas por aplicações G-quase lineares em termos das derivações lineares a elas associadas, é feita no terceiro capítulo desta tese (sendo os capítulos anteriores dedicados ao estudo de somas torcidas de espaços de Banach induzidas por aplicações quase lineares e à revisão de conceitos e resultados preliminares). Buscando generalizar a noção de G-espaço ao caso em que G é um grupo topológico, no quarto capítulo, introduzimos o conceito de G_Top-espaço. Nesse mesmo capítulo, apresentamos alguns exemplos simples de G_Top-espaços e mostramos que uma G-soma torcida de dois G_Top-espaços de Banach pode não ser um G_Top-espaço de Banach --- o que, por sua vez, leva-nos a buscar condições suficientes para que isso ocorra. Esse problema é abordado (de formas diferentes) nos capítulos 4 e 5. Nesse último, mostramos que, se o espaço de Banach subjacente a uma G-soma torcida de dois G_Top-espaços de Banach é super-reflexivo ou reflexivo e separável, então essa G-soma torcida é necessariamente um G_Top-espaço (qualquer que seja o grupo topológico G). Além disso, provamos também que, em certos casos, derivações lineares associadas a aplicações G-quase lineares podem ser representadas de modo especial e, a partir disso, encontramos uma condição suficiente para que um G-centralizador seja uma perturbação de uma aplicação G-quase linear e G-equivariante por uma aplicação homogênea limitada. Uma segunda condição desse tipo é apresentada no sexto e último capítulo da tese, no qual apresentamos também um critério para a equivalência de sequências exatas na categoria dos G_Top-espaços de Banach. Esses dois resultados correspondem a versões topológicas de resultados obtidos por Castillo e Ferenczi nas quais a hipótese de que G seja um grupo mediável é substituída pela de que ele seja um grupo topológico topologicamente mediável (e por algumas hipóteses adicionais).