Medidas invariantes para recobrimentos críticos do círculo - Oliveira, Tiago Estrela de (2014)
O objetivo principal deste trabalho é descrever certos aspectos de natureza métrica dos sistemas dinâmicos gerados por recobrimentos do círculo que possuem um único ponto crítico, chamados recobrimentos críticos do círculo. Na situação mais interessante, este recobrimento, digamos f, não possui órbita periódica atratora e é topologicamente conjugado com um decobrimento do círculo sem ponto crítico e que preserva a medida de Lebesgue. Então, é natural imaginar que f possua uma medida de probabilidade invariante e absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue (abreviadamente, piac). No entanto, provamos que dentre estes recobrimentos críticos, existem alguns que são até analíticos mas não possuem uma medida invariante piac. Para obter este resultado construímos recobrimentos críticos cujo ponto crítico é fortemente recorrente. A força de recorrência do ponto crítico é medida através de ingredientes combinatórios que são delicados neste contexto. Uma das principais dificuldades provem da falta de uma simetria natural e dinamicamente definida em torno do ponto crítico. Isto exige que algumas ferramentas usadas para tratar o mesmo tipo de problema no caso de aplicações unimodais sejam adaptadas, ou mesmo alteradas de modo mais drástico. Como resultado final, além da existência de recobrimentos críticos analíticos sem atratores periódicos e sem medida invariante piac, elucidamos alguns tipos combinatórios que levam a tal comportamento. Também discutimos um método combinatório que permite medir a força de recorrência do ponto crítico.