Solução numérica de equações diferenciais via integração de transformada de Laplace - Mendoza, Ana Cecilia Rojas (2020)
Problemas oscilatórios modelados por equações diferenciais são chamados rígidos quando os autovalores variam (simultaneamente) em diferentes ordens de grandeza: valores elevados causam oscilações rápidas, enquanto valores pequenos causam oscilações mais lentas. O tamanho do passo de tempo dos métodos numéricos usados para integrar esses modelos geralmente é restrito pelos requisitos de estabilidade. Um método explícito precisará de um passo de tempo relativamente pequeno, enquanto que, com um método implícito é possível usar passos de tempo maiores, mas geralmente afetando a precisão da solução. O objetivo deste trabalho é obter um método de integração numérica que nos permita usar passos de tempo maiores, mantendo a estabilidade e a precisão. Um método alternativo para resolver equações diferenciais ordinárias baseado na Transformada Inversa de Laplace é desenvolvido. O esquema numérico é definido aplicando as propriedades da Transformada de Laplace e fazendo algumas modificações no contorno da integração. Analisamos o método para diferentes casos, incluindo modelos aplicados, a fim de estabelecer uma relação entre os parâmetros de integração e obter condições ideais para manter a estabilidade, a precisão e a capacidade de usar passos de tempo maiores. Analisamos também, sob certas condições, a capacidade do método de atuar como um filtro de componentes de alta frequência. A comparação desse método com o Método de Runge Kutta de quarta ordem, para diferentes casos, revela que é possível utilizar passos de tempo muito maiores sem afetar a estabilidade e a precisão. Além disso, ao contrário do Método de Runge Kutta, no método de integração de Laplace cada avaliação é independente. Isso implica que os cálculos podem ser executados em paralelo, o que poderia reduzir o tempo de computação.