Operadores de transferência e espaços de Besov - Marra, Mateus Ribeiro de Souza (2022)
O operador de transferência é uma ferramenta muito útil para estudar um sistema dinâmico, além de ter uma relação muito interessante com suas medidas invariantes. Sejam Ι=[0,1] e f: Ι → Ι um sistema dinâmico e Ψ pertencente a um espaço de funções Banach B, definimos o operador de Perron-Fröbenius Lf: B → B da seguinte forma: (LfΨ)(x) = Σf(y)=x Ψ(Y)/∣Df(y)∣. Estudamos a ação do operador de Perron-Fröbenius quando f é um mapa de expansão por partes ou uma contração. No caso particular de uma contração, consideramos a ação do operador nos espaços de Besov B1,1 -S, com 0<s<1. Nosso foco é primeiramente estudar o comportamento do operador para um caso particular de contração, abrindo um horizonte no estudo dos espaços de Besov B1,1 -S. Esses espaços não consistem apenas em funções, a \"função\" delta de Dirac δ0, por exemplo, pertence a B1,1 -S. Por exemplo, considere Pn partições de [0,1] em 2n intervalos de mesmo comprimento. Para cada Q ∈ Pn, Q=[a,b], associamos um átomo aQ = ΙQΙ-s-1 (X[a, (a+b)/2] -X(a+b)/2 ,b]), onde XA é igual a 1 para x ∈ A, e 0 caso contrário. O espaço B1,1 -S, consiste nas distribuições Ψ que podem ser representadas como Ψ = Σn∈N ΣQ∈Pn cQaQ, tal que Σn∈N ΣQ∈Pn∣CQ∣<∞, onde CQ ∈ C, para todos Q ∈ Pn e n ∈ N. Vamos estudar também o operador dual do operador de Perron-Fröbenius de um sistema expansor, e compreender sua dinâmica nos espaços de Besov B1,1 -S.