Grafos de Lyapunov, desigualdades de Poincaré-Hopf e de Morse - Bertolim, Maria Alice (2002)
Grafos de Lyapunov carregam informações dinâmicas de fluxos do tipo gradiente bem como informações topológicas do espaço de fase correspondente, o qual tomamos como uma variedade orientável fechada de dimensão n. Neste trabalho, os grafos de Lyapunov L(h0,... ,hn, K.) considerados podem representar fluxos suaves em variedades orientáveis fechadas de dimensão maior ou igual a dois, com cycle number K. Mostramos que as desigualdades de Poincaré-Hopf são condições necessárias e suficientes para um grafo abstrato de Lyapunov L(h0,... ,hn, K) ser continuado a um grafo abstrato de Lyapunov do tipo Morse com cycle rank maior ou igual a K. A continuação, que é apresentada por meio de um algoritmo, é mostrada ser única em dimensões dois e três. Em outras dimensões, apresentamos números exatos de possíveis continuações de L(h0,.. , hn, K). Mostramos também que um grafo abstrato de Lyapunov em dimensão maior ou igual a dois, com cycle number K, satisfaz as desigualdades de Poincaré-Hopf se, e somente se, satisfaz as desigualdades de Morse e o primeiro número de Betti gamma;1 é pelo menos K. Definimos o politopo de Morse, PK (h0,..., hn), como sendo o casco convexo da coleção de todos os vetores de números de Betti obtidos das desigualdades de Morse e da desigualdade γ 1 ≥ K para dados pré-fixados (h0,..., h n, K). Finalmente, associamos um politopo de Morse a uma família de grafos de Lyapunov L(h0,... ,hn, K) e estabelecemos propriedades geométricas deste politopo.