As formas bilineares no estudo das representações de posets - Fonseca, Claudia Cavalcante (2023)
Um dos maiores propósitos da teoria de representações de álgebras é descrever (da melhor forma possível) todas as representações indecomponíveis (a menos de isomorfismos) de uma dada álgebra. Com as representações matriciais de posets, conseguimos trabalhar este problema no âmbito de matrizes, utilizando classes de equivalência determinadas por algumas operações elementares que dependem do poset e de um vetor dimensão dado. Neste trabalho, utilizamos as representações subespaciais de posets, que são suficientemente equivalentes às matriciais para todos os nossos propósitos. No nosso primeiro resultado, calculamos a dimensão da variedade das representações por subespaços de um dado poset S com um vetor dimensão fixado, mostrando que ela é dada pela forma quadrática de Euler associada a S. No segundo resultado, relacionamos a matriz de Cartan (que, por sua vez, se relaciona à forma quadrática de Euler) de um poset à matriz de Cartan de seu poset diferencial. Então, usamos esta relação para compreender alguns aspectos quanto à estabilidade de representações de um poset dado. A estabilidade de representações constitui uma abordagem geométrica do estudo da classificação de representações indecomponíveis em posets onde elas não são bem comportadas (\"tipo selvagem\"). Particularmente, estudamos as condições necessárias para a conservação da estabilidade após a diferenciação de uma representação. Como corolário do segundo e terceiro resultados, conseguimos mostrar que todas as representações schurianas de um poset dado são estáveis para uma forma que calculamos explicitamente.