Caracterização e localização dos pontos notáveis do triângulo - Neves, Elvis Donizeti (2013)
O ensino de Matemática é, de modo geral, orientado pelos processos contidos nos livros didáticos. Sendo assim, a organização dos conceitos matemáticos nesses livros deveria ser capaz de permitir ao leitor interpretar a Matemática em sua essência, admitindo o estabelecimento de relações entre os conteúdos. No entanto, o que geralmente se observa nos materiais é um aglomerado de definições e conceitos desconexos que conduzem o leitor a dificuldades de aprendizado na área. Por essa razão, a presente dissertação teve o objetivo principal de localizar, além de caracterizar, os pontos notáveis do triângulo: o centróide ou baricentro (G), o ortocentro (H), o circuncentro (O), o centro (N) da circunferência de nove pontos, os três ex-centros das circunferências ex-inscritas, as projeções ortogonais dos vértices sobre os lados opostos e os pontos de tangência da circunferência inscrita e ex-inscrita. Quatro abordagens são apresentadas em busca de tal objetivo: a-) apresentar a geometria do triângulo segundo técnicas de percepção visual; b-) caracterizar alguns pontos notáveis do triângulo, como pontos de máximo ou de mínimo de funções com as demonstrações utilizando desigualdade de Cauchy-Schwarz e entre média aritmética e geométrica; c-) utilizar um sistema cartesiano adequado para o cálculo das abscissas e ordenadas do centróide (G), do ortocentro (H) e do circuncentro (O) de um triângulo; d-) utilizar os números complexos para a completa localização de todos os pontos notáveis do triângulo além de apresentar a equação da reta de Euler, o incentro (I) e os três excentros IA, IB e IC localizados em fórmulas simples. A dissertação finaliza com o Teorema de Feuerbach, apresentado com uma prova elementar, mostrando que a circunferência de nove pontos e a circunferência inscrita são tangentes internamente e que a circunferência dos nove pontos é tangente exteriormente a cada uma das três ex circunferências e o Teorema de Napoleão, no qual os baricentros de triângulos equiláteros, construídos a partir dos lados de um triângulo qualquer, formam um outro triângulo equilátero. Comparando as várias abordagens da dissertação, a conclusão é a de que a compreensão dos números complexos paradoxalmente simplifica a resolução de problemas de geometria plana e a solução de equações polinomiais. Assim, acredita-se que uma maior exploração desse conteúdo no ensino da Matemática poderia tornar o aprendizado mais atraente e simplificado