Estimativas de erro para discretizações do Laplaciano por métodos de volumes finitos em malhas esféricas geodésicas icosaédricas - Cuevas, Leonardo Andrés Poveda (2021)
A presente tese concentra-se no estudo de estimativas de erro das soluções aproximadas da discretização do Laplaciano pelo Método clássico de Volumes Finitos na esfera unitária \\S. Inicialmente e conforme a literatura, estabelecemos a boa colocação do problema de Poisson em \\S. Em seguida, apresentamos a construção recursiva usual das malhas esféricas geodésicas icosaédricas (NOPT) e esboçamos propriedades geométricas essenciais como o principio de dualidade Voronoï-Delaunay e as otimizações SCVT e HR95, sendo que a precisão da soluções aproximadas depende da qualidade da malha. Definida a estrutura, introduzimos uma discretização do Laplaciano via um Método clássico de Volumes Finitos (MVF). De forma geral, ao usar este método, frequentemente aparece uma perda da consistência causada pela não uniformidade da malha; mas isso não implica necessariamente em perda de convergência. Esse fato foi a motivação principal para o desenvolvimento deste trabalho. Nesse sentido, analisamos taxas de convergência através de uma abordagem mais tradicional, que consiste em reescrever o MVF como um Método de Elementos Finitos Lineares (MEFL) e usar a teoria de aproximação disponível dos MEFL. Aqui, mostramos estimativas clássicas \\emph{a priori} de primeira ordem nas normas H^ e L^ de forma direta. O principal resultado deste trabalho são estimativas nas normas W^{1,\\infty} e L^{\\infty} com ordem sub-linear em relação ao tamanho de malha. Tais estimativas são obtidas através do uso de funções de Green regularizadas em \\S, combinadas com a relação entre o método de volumes finitos com elementos finitos. No caso de uso de uma malha SCVT a convergência nestas normas é super-linear (quase quadrática). Apresentamos exemplos numéricos confirmando as estimativas do erro, evidenciando que ao menos tais ordens de convergência são atingidas.