Sistemas Newtonianos reversíveis bidimensionais - Nascimento, Francisco José dos Santos (2023)
Este trabalho é dedicado ao estudo da equação diferencial ordinária (ED0) autônoma de segunda ordem \\Ddot=F(u,\\Dot), onde F\\in C^r(\\R^2,\\R), r\\in\\{k\\geq1,\\infty,\\omega\\}, é uma função par na segunda variável, ou seja, F(u,-\\dot)=F(u,\\dot). Essa EDO é equivalente ao sistema newtoniano planar de equações diferenciais de primeira ordem \\big(\\Dot=v, \\Dot=F(u,v)\\big)\\, (\\star). Na primeira parte do estudo, supomos que F é analítica em uma vizinhança da origem com \\partial_uf(0,0) eq0. Nessas condições, (\\star) é analiticamente conjugado, em uma vizinhança de (0,0), a um sistema hamiltoniano. Se \\partial_uf(0,0)<0, (\\star) tem um centro não degenerado em (0,0). Nesse caso mostramos que (\\star) é analiticamente conjugado, em uma vizinhança de (0,0), a um sistema hamiltoniano da forma \\big(\\Dot=y, \\Dot=g(x)\\big) (\\star\\star). Na segunda parte, sob uma condição adicional, mostramos que (\\star) é conjugado, em todo o \\R^2, a um sistema hamiltoniano. No principal resultado deste trabalho mostramos que, se o único equilíbrio de (\\star) é um centro não degenerado, então (\\star) é globalmente conjugado a um sistema hamiltoniano do tipo (\\star\\star). Nesse caso, (\\star\\star) não está, necessariamente, definido em todo o \\R^2.