Relações entre subespaços, ciclicidade e hiperciclicidade em espaços de Banach - Augusto, Andre Quintal (2019)
Dado um espaço de Banach $X$, um operador linear limitado $T$ em $X$ é dito {\\it hipercíclico} se existir um vetor $x \\in X$ tal que o conjunto $\\orb{(x,T)} \\eqdef \\{x, Tx, T^2x, T^3x, \\ldots T^nx \\ldots \\}$ é denso em $X$. Em \\cite, Madore e Martínez-Avendaño estenderam o conceito de hiperciclicidade para subespaços: dado um subespaço $M \\subsetneq X$, um operador $T$ é dito {\\it sub-hipercíclico em $M$} se existir $x \\in X$ tal que $\\orb{(x,T)} \\cap M$ seja denso em $M$. Sendo um conceito razoavelmente novo, ainda há muita dúvida sobre quais resultados envolvendo operadores hipercíclicos se estendem naturalmente para operadores sub-hipercíclicos. Este trabalho contribui nesse sentido. Entre os resultados obtidos no segundo capítulo, destacamos a existência de operadores sub-hipercíclicos para qualquer subespaço $M$ de um espaço de Banach e a densidade (na topologia da convergência pontual) do conjunto dos operadores sub-hipercíclicos em $\\mathcal(X)$. Estudamos ainda no terceiro capítulo o {\\it Critério de Sub-Hiperciclicidade}, exibindo um contra-exemplo e um novo critério que funciona em espaços de Banach não necessariamente separáveis. Além disso, no quarto capítulo deste trabalho estudamos também a relação entre hiperciclicidade e ciclicidade via operadores da forma $I + K$, com o intuito de responder a pergunta: será que existe um espaço de Banach onde todo operador hipercíclico satisfaz o chamado {\\it Critério de Hiperciclicidade}? Por fim, inspirados na relação entre hiperciclicidade e sub-hiperciclicidade, terminamos o trabalho definindo o conceito de {\\it sub-ciclicidade} e explorando relações entre todos os conceitos vistos na tese.