Equações funcionais em estruturas não associativas e resultados sobre aditividade de funções - Kawai, Daniel Eiti Nishida (2025)
Nesta tese, apresentamos resultados a respeito de equações funcionais e aditividade de funções em várias álgebras, algumas não necessariamente associativas. Descrevemos as funções aditivas f,g:\\mathbbightarrow\\mathbb satisfazendo a identidade f(x)+m(x)g(x^)=0 para todo x eq0, onde \\mathbb é um corpo e m:\\mathbbightarrow\\mathbb é uma função multiplicativa dada. Depois descrevemos todas as funções biaditivas T:V\\times Vightarrow\\mathbb, onde V é um espaço vetorial sobre um corpo \\mathbb, que são homogeneizadas funcionalmente por uma função multiplicativa M, ou seja, T(ax,ay)=M(a)T(x,y) para quaisquer a\\in\\mathbb e x,y\\in V. O caso em que \\mathrm(\\mathbb) eq2 foi resolvido no artigo ``The equation F(x)+M(x)G(1/x) = 0 and homogeneous biadditive forms\'\', então estudamos o caso \\mathrm(\\mathbb)=2. Além disso, descrevemos as funções aditivas f,g:Dightarrow D satisfazendo a identidade f(x)+x^ng(x^)=0 para todo x invertível, onde n é um inteiro não negativo e D é uma álgebra alternativa com divisão. O caso em que D é associativa foi resolvido nos artigos ``Certain functional identities on division rings\'\' e ``Certain functional identities on division rings of characteristic two\'\', então estudamos o caso em que D não é associativa. Além disso, estudamos a mesma equação funcional onde D é uma álgebra de split-octônios. Depois estudamos as derivações de Jordan e derivações de Lie em álgebras alternativas com divisão de característica diferente de 2 e em álgebras de split-octônios sobre corpos de característica diferente de 2. Se D é uma dessas álgebras, mostramos que toda derivação de Jordan satisfazendo uma certa identidade adicional é uma derivação e toda derivação de Lie é da forma \\delta+\\tau, onde \\delta é uma derivação em D e \\tau:Dightarrow Z(D) é uma função aditiva tal que \\tau([x,y])=0 para quaisquer x,y\\in D. Esses resultados refletem os resultados dos artigos ``Commuting traces of biadditive mappings, commutativity-preserving mappings and Lie mappings\'\' e ``Commuting traces of biadditive maps revisited\'\'. Por fim, estudamos a aditividade de alguns tipos de funções em algumas álgebras. Estudamos a aditividade de funções f:Aightarrow B que satisfazem a identidade \\varphi(\\{a,b\\}_*+b^*a)=\\{\\varphi(a),\\varphi(b)\\}_* + \\varphi(b)^*\\varphi(a) ou a identidade \\varphi(\\{a,b\\}_*+a^*b)=\\{\\varphi(a),\\varphi(b)\\}_* + \\varphi(a)^*\\varphi(b) em álgebras associativas com involução que têm um elemento idempotente e satisfazem certas condições, estendendo assim os resultados do artigo ``Mappings preserving sum of products a\\diamond b+b^*a (resp., a^*\\diamond b+ab^*) on *-algebras\'\'. Em seguida, estudamos a aditividade de isomorfismos n-multiplicativos, derivações n-multiplicativas, funções elementares e funções elementares de Jordan em álgebras de Jordan e alguns tipos de álgebras axiais, estendendo assim os resultados dos artigos ``Additivity of Jordan maps on Jordan algebras\'\', ``An approach between the multiplicative and additive structure of a Jordan ring\'\', ``Additivity of Jordan derivations on Jordan algebras with idempotents\'\' e ``Multiplicative isomorphisms and derivations on axial algebras\'\'.