Álgebras de caminhos generalizadas com relações e suas representações - Almeida, Viktor Chust Bugno Pires de (2020)
O conceito de álgebras de caminhos generalizadas (abreviadas aqui por ACG), tal como tratado neste texto, foi introduzido por F. U. Coelho e S. X. Liu em (Coelho, Liu, 2000). O objetivo da presente dissertação é aprofundar o conhecimento sobre tais álgebras e suas representações, elencando tanto resultados já existentes na literatura quanto novas abordagens a serem apresentadas aqui. Seja $\\Gamma$ uma aljava (também chamada de quiver, em inglês), e seja $\\calA = \\{A_i : i \\in \\Gamma_0\\}$ uma família de álgebras, onde $\\Gamma_0$ é o conjunto dos vértices de $\\Gamma$. Uma álgebra de caminhos generalizada $k(\\Gamma,\\calA)$ é definida como sendo o espaço vetorial tendo como base o conjunto de caminhos sobre $\\Gamma$ intercalados por elementos das álgebras $A_i$ que correspondem a cada vértice. A multiplicação em $k(\\Gamma,\\calA)$ é então definida por concatenação de caminhos e usando as multiplicações internas das álgebras $A_i$. Outro trabalho que será fundamental aqui é o artigo (Ibáñez Cobos, Navarro, López Peña, 2008). Nele, os autores R. M. Ibáñez-Cobos, G. Navarro e J. López-Peña obtém generalizações para dois teoremas bem conhecidos de P. Gabriel, que originalmente tratam das álgebras de caminhos usuais (ver (Auslander, Reiten, Smalo,1995),(Assem, Coelho, 2020), por exemplo, para uma introdução a esses teoremas). Um dos problemas com o quais lidamos é decidir quando uma álgebra dada é isomorfa a uma ACG de forma não trivial. O tratamento deste problema ganha contornos mais interessantes quando permitimos que as ACGs tenham relações. Adaptando as definições e os resultados de (Ibáñez Cobos, Navarro, López Peña, 2008) a esse novo contexto, é possível abordar o problema citado acima usando critérios de natureza combinatória. Dada uma ACG $k(\\Gamma,\\calA)$, dizemos que uma propriedade de álgebras ou de representações vale localmente se ela vale para cada álgebra que pertence à família $\\calA$, e dizemos que ela vale globalmente se vale para a álgebra $k(\\Gamma,\\calA)$. A relação entre propriedades locais e globais é outro problema relevante que discutiremos aqui. Na literatura, exemplos dessas propriedades aparecem em (Külshammer, 2017), (Wang, 2006). Ainda neste contexto, aprofundando uma discussão presente em (Li, Ye, 2015), é possível descrever as representações de uma ACG que correspondem a módulos simples, projetivos e injetivos.