Metades esparsas em grafos livres de triângulos - Bispo, César Augusto dos Santos (2024)
Erds conjecturou que todo grafo livre de triângulos com n vértices contém um subconjunto de n/2 vértices que induz no máximo n2/50 arestas. Krivelevich confirmou essa conjectura para grafos com n vértices e grau mínimo pelo menos 2n/5 e Keevash e Sudakov melhoraram esse resultado, estendendo-o para grafos com grau médio pelo menos 2n/5. Norin e Yepremyan reforçaram a conjectura de Erds para grafos G com (G) 5n/14 e também para grafos com grau médio pelo menos (2n/5 )n para algum > 0. Estendendo esse resultado, Bedenknecht, Mota, Reiher e Schacht confirmaram a conjectura para grafos homomorfos a grafos de Andrásfai. Como consequência, segue que a conjectura é válida para grafos livres de triângulos com grau mínimo maior que 10n/29. Ademais, se o número cromático do grafo é menor que 4, então a condição de grau mínimo pode ser relaxada para maior que n/3. Eles também obtiveram um resultado mais geral para grafos de cintura ímpar alta. Se a conjectura for verificada para a família de grafos Vega, então sabe-se que é válida para todo grafo G com (G) > n/3. Neste mestrado, temos como objetivo realizar um estudo aprofundado sobre o problema, apresentando dois resultados originais que contribuem para o avanço em direção à solução da conjectura para grafos homomorfos a certos grafos Vega.