Álgebras de Hopf como álgebras de Frobenius: uma forma de obter a Equação de Classe - Santos, Henrique Sbarai dos (2023)
Esta dissertação apresenta uma introdução às álgebras de Frobenius e sua utilização no estudo das álgebras de Hopf de dimensão finita. A discussão sobre álgebras de Frobenius é feita majoritariamente com os teoremas de Brauer-Nesbitt-Nakayama, mas é ampliada para alguns resultados referentes aos módulos sobre essas álgebras. Uma breve introdução sobre álgebras de Hopf é feita para, em seguida, podermos relacionar a teoria clássica dessa área com a teoria das álgebras de Frobenius. A partir da relação entre esses conceitos, estudamos uma demonstração da fórmula de Radford para a antípoda e resultados sobre semissimplicidade das álgebras de Hopf, introduzimos uma teoria de caracteres para álgebras de Hopf e combinamos esses resultados na demonstração do principal resultado deste texto: a Equação de Classe de Kac e Zhu. Apresentamos duas aplicações dessa equação de classe, como, por exemplo, a caracterização de álgebras de Hopf de dimensão prima sobre corpos algebricamente fechados e de característica zero. Por fim, aproveitamos a teoria de caracteres apresentada para estudar generalizações de resultados clássicos da teoria de caracteres de grupos finitos para essa nova teoria.