Métodos de diferenças finitas e de Monte Carlo em derivativos. - Maiali, André Cury (2000)
O objetivo desta tese é apresentar e comparar alguns métodos numéricos para o precificação de opções por meio de modelos de tempo contínuo. Esta apresentação abrangerá desde o desenvolvimento dos modelos de precificação, com a conseqüente obtenção das equações de precificação, até a descrição de alguns métodos numéricos utilizados na solução destas equações. Com relação ao desenvolvimento dos modelos de precificação de opções a tempo contínuo, existem principalmente duas abordagens conceitualmente diferentes. A primeira delas utiliza argumentos de inexistência de arbitragem para obter equações diferenciais parciais obedecidas pelo preço das opções. A segunda delas utiliza o conceito de medida equivalente de Martingale para representar o preço das opções por meio de uma esperança condicional. Com relação à solução das equações de precificação, existem duas abordagens diferentes. A primeira delas consiste em encontrar a solução analítica dessas equações, também chamada de solução fechada. A segunda consiste em se utilizarem métodos numéricos. Para a maioria dos modelos de precificação existentes, não é possível se obter uma solução analítica exata. Somente alguns modelos admitem soluções exatas simples; outros poucos admitem soluções exatas apenas em termos de séries infinitas de determinadas funções especiais. Assim, costuma ser mais eficiente resolver as equações de precificação numericamente do que tentar encontrar soluções exatas, quer sejam elasrepresentadas por funções ou por séries infinitas de funções. Os métodos numéricos a serem utilizados dependem fundamentalmente da abordagem utilizada para se obter o modelo de precificação. Quando o preço da opção é expresso por uma equação diferencial parcial, podem-se usar, por exemplo, métodos explícitos de diferenças finitas, métodos implícitos de diferenças finitas, ou ainda métodos de elementos finitos. Neste trabalho, apenas os dois primeiros serão ) apresentados, sendo o implícito o escolhido para implementação. Quando o preço da opção é expresso por uma esperança condicional, o método de Monte Carlo mostra-se adequado. Este método também será apresentado e implementado neste trabalho. Existe ainda uma outra classe de métodos numéricos altamente difundida, as árvores, que incluem modelos binomiais e trinomiais. Estes modelos assumem que o processo estocástico seguido pelo ativo objeto é discreto. Embora sejam altamente eficientes quando da precificação de derivativos simples, como \"calls\" ou \"puts\" européias, as árvores se mostram consideravelmente menos eficientes quando utilizadas para precificar derivativos complicados. Além disso, todas as árvores se enquadram como casos particulares do método explícito de diferenças finitas. Por essas razões, árvores não serão consideradas neste trabalho. Portanto, os métodos numéricos a serem analisados neste trabalho são: métodos explícitos de diferenças finitas, métodos implícitos de diferenças finitase métodos de Monte Carlo. Os métodos a serem implementados comparados são o implícito de diferenças finitas e o de Monte Carlo. Estes métodos serão aplicados à precificação de um tipo de opção exótica: a opção quanto. Este trabalho está organizado da seguinte forma. No Capítulo 2 é apresentada uma revisão da teoria de precificação de derivativos. No Capítulo 3 são detalhados alguns métodos numéricos, entre os quais encontram-se os que serão implementados neste trabalho. As simulações realizadas são apresentadas no Capítulo 4. O Trabalho é concluído no Capítulo 5 com algumas considerações finais. O apêndice apresenta a dedução das equações que representam as condições de contorno do método de diferenças finitas Alternating Direction Implicit (ADI).