Propriedades Estatísticas e Termodinâmicas de Bilhares Clássicos - Francisco, Matheus Hansen (2019)
Neste trabalho, apresentamos resultados para um sistema dinâmico denominado como bilhar, que descreve a dinâmica de uma partícula de massa m, livre da influência de qualquer potencial externo, no interior de uma região delimitada por uma fronteira que pode ser estática ou móvel. A partícula é lançada de uma determinada posição no interior do bilhar, de modo a sofrer colisões elásticas ou inelásticas com a fronteira do modelo. Após a ocorrência de uma colisão, a partícula sofre uma reflexão especular com a fronteira, de modo que seu ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Para o caso em que as colisões são elásticas e a fronteira estática, o módulo da velocidade da partícula permanece constante ao longo de todas as colisões, entretanto, se uma perturbação temporal for introduzida na fronteira do sistema, é permitida a variação no módulo da velocidade da partícula durante o impacto. Nesta tese, vamos estudar a dinâmica de um ensemble de partículas não-interagentes em um bilhar ovóide sob duas configurações diferentes. Inicialmente, a fronteira será assumida como estática e a partir de um mapeamento bidimensional que descreve a dinâmica do sistema, demonstramos que para esse tipo de bilhar o espaço de fases é do tipo misto, onde pode ser observado a coexistência de um mar de caos, ilhas de estabilidade e um conjunto de curvas invariantes do tipo spanning. Ainda para esse caso, introduzimos orifícios ao longo da fronteira do bilhar para estudar o comportamento do escape das partículas, via análise da probabilidade de sobrevivência P(n) que um conjunto de partículas no interior do sistema exibe, conforme o número de colisões n é aumentado. Através de simulações numéricas, verificamos que P(n) decai em média de forma exponencial com um expoente de decaimento dado aproximadamente pela razão entre a extensão do orifício h e o comprimento total da fronteira do bilhar. Ao longo deste estudo, observamos que devido a natureza mista do espaço de fases, existem regiões preferenciais para a visitação de partículas, o que pode fornecer pistas para a verificação da maximização ou minimização do escape no sistema. Posterior a isso, introduzimos uma perturbação temporal na fronteira do bilhar ovóide, e descrevemos todas as equações necessárias para a obtenção do mapeamento quadrimensional não-linear, que reproduzirá o movimento de uma partícula no interior do modelo com fronteiras oscilantes. O objetivo dessa análise, é a verificação da difusão ilimitada de energia por parte das partículas, conhecido como Aceleração de Fermi. Além de discutir todo o mecanismo envolvido nesse fenômeno, também analisamos formas possíveis para provocar a supressão desse crescimento ilimitado de energia exibido pelas partículas. Por último, propomos uma conexão entre os resultados referentes ao bilhar ovóide dependente do tempo com conceitos ligados à Termodinâmica.