Sequência exata de Bloch-Wigner e K-teoria algébrica - Ordinola, David Martín Carbajal (2016)
A K-teoria algébrica é um ramo da álgebra que associa para cada anel com unidade R, uma sequência de grupos abelianos chamados os n-ésimos K-grupos de R. Em 1970, Daniel Quillen dá uma definição geral dos K-grupos de um anel qualquer R a partir da +-construção do espaço classificante BGL(R). Por outro lado, considerando R um anel comutativo, obtém-se também a definição dos K-grupos de Milnor KMn (R). Usando o produto dos K-grupos de Quillen e Milnor e suas estruturas anti-comutativas, definimos o seguinte homomorfismo tn : KMn (R) → Kn(R): Mostraremos nesta dissertação que se R é um anel local com ideal maximal m tal que R / m é um corpo infinito, então esse homomorfismo é um isomorfismo para 0 ≤ n ≤ 2. Em geral tn nem sempre é injetor ou sobrejetor. Por exemplo quando n = 3, sabe-se que t3 não é sobrejetor e definimos a parte indecomponível de K3(R) como sendo o grupo Kind3 (R) := coker (KM3 (R) → t3 K3(R)). Usando alguns resultados de homologia dos grupos lineares, nesta dissertação mostraremos a existência da sequência exata de Bloch-Wigner para corpos infinitos. Esta sequência dá uma descrição explícita da parte indecomponível do terceiro K-grupo de um corpo infinito. TEOREMA (Sequência exata de Bloch-Wigner). Seja F um corpo infinito e seja p(F) o grupo de pre-Bloch de F, isto é, o grupo quociente do grupo abeliano livre gerado pelos símbolos [a], a ∈ F×, pelo subgrupo gerado por elementos da forma [a] - [b] + [b/a] - [1-a-1 /1-b-1] + [1-a /1-b] com a, b ∈ F× - {1}, a /= b. Então temos a sequência exata TorZ1 (μ (F), μ (F)) ~ → Kind3 (F) → p(F) → (F× ⊗ ZFx)σ F×)σ → K2(F) → 0 onde (F× ⊗ ZF×)σ := (F×; ⊗ ZF×)/<a ⊗ b + b ⊗ a | a, b ∈ F×> e TorZ1 (μ (F); μ (F)) ~ é a única extensão não trivial de Z=2Z por TorZ1 (μ (F); μ (F)) se char(F) ≠ 2 e μ 2 ∞ (F) é finito e é TorZ1 (μ (F); μ (F)) caso contrário. O homomorfismo p(F) → (F× ⊗ ZF×) σ é definido por [a] → a ⊗ (1-a). O estudo da sequência exata de Bloch-Wigner é justificada pela relação entre o segundo e terceiro K-grupo de um corpo F.