A noniterative reconstruction method based on higher-order topological derivatives for solving a class of inverse problems

• Ano de defesa: 2019
• Autor(a) principal: Fernandez, Lucas dos Santos
• Orientador(a): Novotny, Antonio André, Sokolowski, Jan
• Banca de defesa: Novotny, Antonio André, Laurain, Antonie, Leitão, Antonio Carlos G., Valentin, Frédéric G. C., Javier Blanco, Pablo
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: eng
• Instituição de defesa: Laboratório Nacional de Computação Científica
• Programa de Pós-Graduação: Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional
• Departamento: Coordenação de Pós-Graduação e Aperfeiçoamento (COPGA)
• País: Brasil
• Palavras-chave em Português: Otimização matemática; Topologia algébrica
• Área do conhecimento CNPq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::ANALISE
• Link de acesso: https://tede.lncc.br/handle/tede/315

Esta tese diz respeito a uma classe de problemas de potencial inverso que, por sua vez, pode ser visto como problemas de reconstrução. Em particular, os problemas inversos, aqui estudados, são caracterizados pelo fato de que a incógnita desejada é um subconjunto geométrico contido no interior de um domínio de referência e sua reconstrução é obtida a partir de medidas parciais de o potencial associado. Esse tipo de problema inverso tem muitas aplicações na física e engenharia. Na verdade, eles estão relacionados com a localização das fontes de poluição em um determinado ambiente; a identificação de monopolos e dipolos em eletroencefalografia e magnetoencefalografia; a detecção do epicentro de um determinado terremoto, sabendo seu efeito na superfície da terra, bem como a detecção de anomalias desconhecidas presentes no interior o núcleo da terra a partir de medições do campo de gravidade em sua superfície, por exemplo. Em No caso particular desta tese, consideramos cinco problemas de reconstrução inversa. Dois deles são governados por uma equação modificada de Helmholtz. Outros dois são governados por uma equação de Helmholtz. O último problema é modelado por uma convecção-difusão governando equação. Dois problemas que têm a mesma equação governante diferem um do outro pela condição de contorno e/ou região do domínio onde as medidas de o campo escalar de interesse são coletados. Como esses problemas são escritos na forma de problemas de valor de contorno mal colocados, nós os reescrevemos como problemas de otimização de topologia. Em particular, um funcional de forma medindo o desajuste entre a solução obtida de o modelo e os dados obtidos das medições de limite são minimizados em relação a um conjunto de anomalias em forma de bola usando o conceito de derivadas topológicas. Isso significa que o funcional de forma é expandido assintoticamente e então truncado até o desejado prazo de pedido. A expansão truncada resultante é trivialmente minimizada em relação ao parâmetros sob consideração que leva a uma reconstrução de segunda ordem não iterativa algoritmo. Como resultado, o processo de reconstrução torna-se muito robusto no que diz respeito os dados ruidosos e independente de qualquer suposição inicial. Além disso, como esse algoritmo pode aproximar com precisão o conjunto de subconjuntos geométricos desconhecidos por várias bolas, pode ser usado para fornecer um bom palpite inicial para abordagens iterativas mais complexas como os baseados em métodos de conjuntos de níveis, por exemplo. Ressaltamos ainda que, como parte da abordagem baseada em derivativos topológicos, estimativas dos termos restantes decorrentes da expansão assintótica do funcional topologicamente perturbado são dadas em detalhes fornecendo uma análise assintótica completa para cada um dos problemas abordados aqui. Finalmente, a fim de mostrar a eficácia do algoritmo de reconstrução desenvolvido, alguns experimentos numéricos em duas dimensões espaciais são apresentados, levando em conta o reconstrução de múltiplas anomalias em diferentes cenários.