k-in-a-TREE: an integer programming approach

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Ferreira, Lucas Saldanha
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais; Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional; Brasil; CEFET-MG
• Palavras-chave em Português: Teoria dos grafos; Computação gráfica; Programação linear; Algoritmos
• Link de acesso: https://repositorio.cefetmg.br//handle/123456789/878

Chudnovsky e Seymour (2010) propuseram o algoritmo THREE-IN-A-TREE, que resolve o seguinte problema em tempo polinomial: dado um grafo simples e finito e três vértices fixos, verificar se existe uma árvore induzida contendo esses vértices. Neste trabalho, lidamos com uma generalização natural desse problema, denominada k-IN-A-TREE. Este problema pergunta se um grafo contém uma árvore induzida que abrange k vértices predeterminados. Quando k faz parte da entrada, o problema é conhecido por ser NP-completo, se k ≥ 4 é um número fixo, sua complexidade está aberta. Entretanto existem algoritmos eficientes para casos restritos, como grafos livres de garras, grafos com circunferência pelo menos k e grafos cordais. Neste trabalho apresentamos formulações de programação inteira mista para o problema em questão e mostramos que instâncias com até 25.000 vértices podem ser resolvidas em tempo computacional razoável. Também agregamos mais de três anos de tempo computacional em experimentos projetados para explorar quais variáveis impactam o tempo de execução das várias instâncias geradas; essas análises fornecem um perfil para o problema k-IN-A-TREE em sua forma mais genérica. As contribuições deste trabalho incluem demonstrar que o k-IN-A-TREE pode ser eficientemente resolvido usando Programação Linear Inteira (ILP), permitindo a solução de instâncias de tamanhos relativamente grandes. Além disso, apresentamos análise detalhada que foi conduzida para identificar e caracterizar as principais variáveis que influenciam a dificuldade computacional do problema, fornecendo dados valiosos sobre como a estrutura do grafo, tamanho, conectividade dos vértices e a distribuição dos elementos obrigatórios, afetam a dificuldade. Outra contribuição significativa é a demonstração de que o problema pode ser resolvido de forma eficaz em intervalos de tempo que seriam insuficientes para resolver outros problemas combinatórios complexos, como o Problema do Caixeiro Viajante (TSP). Isso destaca a tratabilidade computacional do problema em ambientes com restrições de tempo, onde outros problemas de complexidade semelhante permanecem mais desafiadores. Essas contribuições avançam o entendimento do problema, estabelecendo um novo marco para a habilidade de resolver o problema e abrindo caminho para futuras explorações teóricas e práticas.