An?lise e aplica??es do operador laplaciano em coordenadas polares, cil?ndricas e esf?ricas: teoria, deriva??o e solu??es para equa??es diferenciais parciais em geometrias n?o cartesianas

• Ano de defesa: 2025
• Autor(a) principal: Medeiros, Yan Barbosa
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Palavras-chave em Português: Operador Laplaciano; Coordenadas Curvil?neas; Equa??es Diferenciais Parciais; Equa??es de Laplace e de Poisson
• Link de acesso: http://repositorio.ifpb.edu.br/jspui/handle/177683/4867

O operador Laplaciano ? uma ferramenta matem?tica central em diversas ?reas da f?sica e da engenharia, figurando em equa??es fundamentais como as de Laplace, Poisson e a equa??o de onda. Contudo, sua apresenta??o em sistemas de coordenadas n?o cartesianas ? frequentemente abordada no ensino superior como uma f?rmula pronta, omitindo-se a dedu??o matem?tica que a origina e, consequentemente, limitando a uma compreens?o superficial por parte dos estudantes. Este trabalho teve como objetivo principal preencher essa lacuna pedag?gica, oferecendo uma an?lise sistem?tica e detalhada da deriva??o do operador Laplaciano em coordenadas polares, cil?ndricas e esf?ricas. A metodologia empregada partiu de uma revis?o bibliogr?fica de obras can?nicas da f?sica-matem?tica, seguida pela dedu??o rigorosa das express?es do operador atrav?s da aplica??o da regra da cadeia para transforma??es de coordenadas. Subsequentemente, a utilidade pr?tica das express?es deduzidas foi demonstrada pela aplica??o na resolu??o de problemas cl?ssicos da f?sica, como o c?lculo do potencial eletrost?tico e gravitacional em sistemas com simetria circular, axial e esf?rica. Os resultados evidenciaram que a escolha de um sistema de coordenadas compat?vel com a geometria do problema simplifica drasticamente a solu??o de equa??es diferenciais parciais complexas. Conclu?mos ent?o que uma abordagem focada na dedu??o, em vez da memoriza??o, promove uma compreens?o mais profunda da ?ntima rela??o entre a simetria f?sica de um sistema e a estrutura da ferramenta matem?tica necess?ria para descrev?-lo, refor?ando a import?ncia do racioc?nio anal?tico no ensino de ci?ncias e matem?tica.